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Ya hemos visto una función multivaluada o multifunción. Es el caso de la función compleja raíz cúbica que tiene tres valores y un punto de ramificación z = 0. Las potencias racionales son ejemplos de funciones complejas multivaluadas.

Ahora vamos a considerar la función compleja multivaluada con dos valores y dos puntos de ramificación:

Multifunción con dos valores y dos puntos de ramificación  | matematicasvisuales

Podemos dibujar caminos en el panel izquierdo y ver cómo se transforman en el panel derecho. Esta función tiene dos valores y podemos ver los dos caminos o solo uno de ellos.

Si el camino es un camino cerrado, como el de la imagen, que no rodea ninguno de los puntos de ramificación, su imagen f(z) es un camino cerrado que vuelve a su valor inicial.

Dos puntos de ramificación: camino cerrado que no rodea ninguno de los puntos de ramificación | matematicasvisuales

Sin embargo, si z dibuja un camino cerrado que rodea uno solo de los puntos de ramificación, entonces f(z) no vuelve al valor inicial sino que termina en el otro valor de la multifunción.

Dos puntos de ramificación: camino cerrado que rodea uno de los puntos de ramificación una sola vez | matematicasvisuales

Análogamente, si z rodea uno de los puntos de ramificación dos veces, entonces f(z) vuelve a su valor inicial otra vez.

Dos puntos de ramificación: camino cerrado que rodea uno de los puntos de ramificación dos veces | matematicasvisuales

Lo mismo ocurre si el camino cerrado rodea los dos puntos de ramificación.

Dos puntos de ramificación:  camino cerrado que rodea los dos puntos de ramificación | matematicasvisuales

REFERENCIAS

Tristan Needham - Visual Complex Analysis. (pag. 96) - Oxford University Press

ENLACES

Multifunciones: Potencias con exponente fraccionario
El concepto de función puede extenderse permitiendo que f(z) tenga diferentes valores para un valor z. En este caso decimos que f es una función multivaluada o multifunción.
Inversión
La inversión es una transformación del plano que transforma rectas y circunferencias en rectas y circunferencias.
Transformaciones de Moebius
Una primera aproximación a estas transformaciones. Representación de dos haces coaxiales de circunferencias ortogonales.
Función exponencial compleja
La función exponencial compleja extiende la función exponencial real al plano complejo.
La función coseno compleja
La función coseno compleja extiende la función real al plano complejo. Es una función periódica que comparte varias propiedades con la función real.
La función coseno compleja: transformación de una recta horizontal
La función coseno compleja transforma rectas horizontales en elipses cofocales.
Más sobre funciones complejas
Ejemplos de funciones complejas: polinómicas, transformaciones de Moebius, etc.