Ya hemos visto una función multivaluada o multifunción. Es el caso de la función compleja
raíz cúbica que tiene tres valores y un punto de ramificación z = 0. Las potencias racionales son ejemplos de funciones complejas multivaluadas.
Ahora vamos a considerar la función compleja multivaluada con dos valores y dos puntos de ramificación:
Podemos dibujar caminos en el panel izquierdo y ver cómo se transforman en el panel derecho. Esta función tiene dos valores y podemos ver los dos caminos o solo uno de ellos.
Si el camino es un camino cerrado, como el de la imagen, que no rodea ninguno de los puntos de ramificación, su imagen
f(z) es un camino cerrado que vuelve a su valor inicial.
Sin embargo, si z dibuja un camino cerrado que rodea uno solo de los puntos de ramificación, entonces f(z) no vuelve
al valor inicial sino que termina en el otro valor de la multifunción.
Análogamente, si z rodea uno de los puntos de ramificación dos veces, entonces f(z) vuelve a su valor inicial otra vez.
Lo mismo ocurre si el camino cerrado rodea los dos puntos de ramificación.
MÁS ENLACES
Las potencias de exponente natural tienen un cero de multiplicidad n.
Un polinomio de grado 2 tiene dos raíces o ceros. En esta representación podemos ver los óvalos de Cassini y la lemniscata.
Un polinomio de grado 3 tiene tres ceros o raíces. Podemos modificar los tres ceros de este tipo de polinomios.
Un polinomio de grado n tiene n ceros o raíces.
Podemos controlar qué partes del plano complejo se muestran con colores.
Podemos modificar las multiplicidades del cero y del polo de estas funciones sencillas.
Tenemos más control sobre qué partes del plano complejo se representa con colores.
La función exponencial compleja extiende la función exponencial real al plano complejo.
La función coseno compleja extiende la función real al plano complejo. Es una función periódica que comparte varias propiedades con la función real.
La función coseno compleja transforma rectas horizontales en elipses cofocales.
La inversión es una transformación del plano que transforma rectas y circunferencias en rectas y circunferencias.
La inversión preserva la magnitud de los ángulos pero invierte el sentido. Circunferencias ortogonales se transforman en circunferencias ortogonales
La función exponencial compleja es periodica. Su desarrollo de Taylor converge en todo el plano complejo.
La función coseno compleja tiene un desarrollo de Taylor que converge en todo el plano complejo.
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