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La definición usual de función es restrictiva. Podemos ampliar la definición de una función si permitimos que f(z) tenga varios valores diferentes para un valor de z. En este caso, decimos que f es una "función multivaluada" o una multifunción.

Por ejemplo, sabemos que

función raíz cúbica  | matematicasvisuales

tiene tres valores diferentes (si z es distinto de 0), por lo tanto, es una multifunción.

En este caso, vemos que cada color se muestra tres veces y que cada valor z tiene tres imagenes diferentes con el mismo módulo pero con distinto argumento.

La función raíz cúbica es multifunción  | matematicasvisuales

Si elegimos arbitrariamente una de estas tres imágenes de un punto z dado y nos movemos gradualmente desde esta posición inicial, entonces la imagen también se mueve de una manera completamente determinada: su distancia al origen es la raíz cúbica de la distancia de z y la velocidad angular es un tercio de la de z. (Needham, p.91)

Si z se mueve a lo largo de un bucle como el de la figura, su imagen f(z) se mueve a lo largo de un bucle cerrado y vuelve a su valor original.

La función raíz cúbica | bucle que no rodea el punto de ramificación  | matematicasvisuales

Sin embargo, si z se mueve a lo largo de un bucle que rodea al origen una vez, entonces f(z) no vuelve a su valor original sino que termina en una raíz cúbica diferente. Notamos que la forma particular del bucle es irrelevante, lo que importa es que rodea al origen una vez. (Needham, p.91)

La función raíz cúbica | bucle que rodea el punto de ramificación una vez | matematicasvisuales

Análogamente, si z se mueve a lo largo de un bucle que rodea al origen dos veces, entonces f(z) termina en la tercera y última raíz cúbica. (Needham, p.91)

La función raíz cúbica | bucle que rodea el punto de ramificación dos veces | matematicasvisuales

Claramente, si z se mueve a lo largo de un bucle que rodea al origen tres veces, entonces f(z) vuelve a la primera raíz. (Needham, p.91)

La función raíz cúbica | bucle que rodea el punto de ramificación tres veces | matematicasvisuales

El punto z 0 = se llama punto de ramificación de la multifunción f(z).

REFERENCIAS

Tristan Needham - Visual Complex Analysis. (pag. 91) - Oxford University Press

ENLACES

Multifunciones: Dos puntos de ramificación
Una multifunción puede tener más de un punto de ramificación. La multifunción considerada en esta página tiene dos valores y dos puntos de ramificación.
Inversión
La inversión es una transformación del plano que transforma rectas y circunferencias en rectas y circunferencias.
Transformaciones de Moebius
Una primera aproximación a estas transformaciones. Representación de dos haces coaxiales de circunferencias ortogonales.
Función exponencial compleja
La función exponencial compleja extiende la función exponencial real al plano complejo.
La función coseno compleja
La función coseno compleja extiende la función real al plano complejo. Es una función periódica que comparte varias propiedades con la función real.
La función coseno compleja: transformación de una recta horizontal
La función coseno compleja transforma rectas horizontales en elipses cofocales.
Más sobre funciones complejas
Ejemplos de funciones complejas: polinómicas, transformaciones de Moebius, etc.