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Ya sabemos que cos(z) es periódica con periodo 2*pi.

En esta página vamos a explorar cómo una recta horizaontal es tranformada por la función cos(z), siguiendo el libro de Tristan Needham Visual Complex Analysis.

Con la animación podemos ver que la imagen de

Una recta horizontal en el plano complejo | matematicasvisuales

es "un óvalo simétrico" (que es el resultado de la suma de dos movimientos circulares).

Función coseno compleja | movimientos circulares | matematicasvisuales

Para calcular dónde este óvalo corta al eje real, consideramos

Punto que se transforma en un punto real | matematicasvisuales

Entonces

El óvalo corta al eje real en este punto:

El ovalo corta al eje real en este punto cosh(c) | matematicasvisuales

Para calcular dónde el óvalo corta al eje imaginario, consideramos

Punto que se transforma en un punto imaginario | matematicasvisuales

Entonces

El óvalo corta al eje imaginario en este punto:

El ovalo corta al eje imaginario en este punto i*sinh(c) | matematicasvisuales

Puntos de corte del ovalo con los ejes | matematicasvisuales

El ovalo es una elipse perfecta. Si calculamos

Usando

Considerando las partes real e imaginaria:

Podemos escribir

Que es la representación familiar de la elipse y que podemos escribir (fórmula impícita):

Para calcular los focos de la elipse podemos usar

Focos de las elipses cofocales | matematicasvisuales

La forma de estas elipses varía al cambiar c pero todas ellas son elipses cofocales.

La imagen por cos(z) de una recta vertical es una hipérbola que tiene los mismos focos que las elipses. Elipses e hipérbolas se cortan en ángulos rectos.

REFERENCIAS

Tristan Needham - Visual Complex Analysis. (pag. 88-89) - Oxford University Press

ENLACES

La función coseno compleja
La función coseno compleja extiende la función real al plano complejo. Es una función periódica que comparte varias propiedades con la función real.
Polinomios de Taylor: función coseno compleja
La función coseno compleja tiene un desarrollo de Taylor que converge en todo el plano complejo.
Función exponencial compleja
La función exponencial compleja extiende la función exponencial real al plano complejo.
Polinomios de Taylor (2): función seno
Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función seno en un intervalo más y más amplio.
Inversión
La inversión es una transformación del plano que transforma rectas y circunferencias en rectas y circunferencias.
Multifunciones: Potencias con exponente fraccionario
El concepto de función puede extenderse permitiendo que f(z) tenga diferentes valores para un valor z. En este caso decimos que f es una función multivaluada o multifunción.
Más sobre funciones complejas
Ejemplos de funciones complejas: polinómicas, transformaciones de Moebius, etc.