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El Primer Teorema Fundamental del Cálculo afirma que podemos construir una primitiva de cualquier función continua por integración. Cuando combinamos esto con el hecho de que dos primitvas de la misma función son iguales salvo una constante, obtenemos el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo. (Apostol)

El Segundo Teoerema Fundamental del Cálculo (simplificando la hipótesis) dice: Supongamos que f es continua en un intervalo abierto I, y sea P cualquier primitiva (una integral indefinida, P'=f) de f en I. Entonces, para cada a y cada b en I, tenemos que

Teorema Fundamental del Cálculo | matematicasVisuales

La demostración no es difícil:

Sea

Teorema Fundamental del Cálculo | matematicasVisuales

Entonces, por el Primer Teorema del Cálculo:

Existe una constante C tal que

Podemos calcular C pues

Entonces C es

Podemos escribir

Esta expresión es verdadera para x=b, y ya hemos obtenido el resultado buscado:

Este teorema nos dice que podemos calcular el valor de una interal definida simplemente restando, si conocemos una primitiva (antiderivada) F. El problema de calcular una integral se transfiere a otro problema, el de calcular una primitiva F de f. Podemos leer cada fórmula de derivada al revés y nos dará un ejemplo de primitiva de una función f y esto nos dará una fórmula para integrar esa función.(Apostol)

Queremos calcular una integral definida de una función f:

Teorema Fundamental del Cálculo: una función y una integral definida | matematicasVisuales

La función integral F es:

Teorema Fundamental del Cálculo: una función y una función integral | matematicasVisuales

Si sabemos calcular otra primitiva o antiderivada P de f podemos calcular muy fácilmente (solo restando) el valor de la integral:

Teorema Fundamental del Cálculo: calculando una integral restando dos valores de una primitiva | matematicasVisuales

Si consideramos otra primitiva el resultado es el mismo:

Teorema Fundamental del Cálculo: usando diferentes primitivas el resultado es el mismo | matematicasVisuales

Aquí podemos recordar lo inteligente que tuvo que ser Arquímides cuando calculó el área de un segmento parabólico:

Teorema Fundamental del Cálculo: Método de Arquímedes para calcular el área de un segmento parabólico | matematicasVisuales

O las diferentes técnicas que Cavalieri, Fermat y otros necesitaron para integrar funciones potencia (1800 años después, hacia 1630):

Teorema Fundamental del Cálculo: Fermat y otros sabían cómo calcular la integral de funciones potencia | matematicasVisuales

Con la poderosa herramienta que nos proporciona el teorema, la integración de este tipo de funciones es pura rutina. Por ejemplo, si queremos integrar

Teorema Fundamental del Cálculo | matematicasVisuales

Buscamos una primitiva (o antiderivada) del integrando:

Aplicamos el teorema:

El resultado es:

En general, es fácil integral funciones potencia:

El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo nos proporciona una poderosa herramienta para calcular integrales definidas exactamente pero es útil solo si podemos encontrar una primitiva para la función que queremos integrar. Algunas veces esto es una tarea sencilla pero otras veces es difícil. Para poder usar este teorema para calcular integrales definidas debemos desarrollar procedimientos que nos ayudan a encontrar primitivas. A esto se le llama 'Técnicas de integración'.

Es bastante típico usar la letra F para la primitiva o antiderivada de f. Y usamos una notación para denotar la resta F(b) - F(a):

Teorema Fundamental del Cálculo | matematicasVisuales

Un ejemplo básico:

Otro ejemplo sencillo: sabemos que Arquímedes fue capaz de calcular el área de un segmento parabólico. Ahora podemos usar el Teorema Fundamental del Cálculo para calcular esta área:

Teorema Fundamental del Cálculo: segmento parabólico | matematicasVisuales

Lo primero que tenemos que hacer es encontrar la de la parábola (un polinomio de segundo grado):

Queremos evaluar el área usando la integral:

El cálculo es sencillo pues es una función polinómica:

Hemos considerado un Segundo Teorema Fundamental del Cálculo con unas hipótesis sencillas. En cualquier buen libro de cálculo se puede ver que este teorema aplica a todas las funciones integrables (no necesariamente continuas). Con esta hipótesis el teorema es más difícil de probar.

REFERENCIAS

Michael Spivak, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.
Tom M. Apostol, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.
Otto Toeplitz, The Calculus, a genetic approach, The University of Chicago Press, 1963 (p. 95-99).
Kenneth A. Ross, Elementary Analysis: The Theory of Calculus, Springer-Verlag New York Inc., 1980 (p. 190).
Serge Lang, A First Course in Calculus, Third Edition, Addison-Wesley Publishing Company.
David M. Bressoud, Historical Reflections on Teaching the Fundamental Theorem of Calculus, American Mathematical Monthly 118 (2011).
Jorge M. López Martínez and Omar A. Hernández Rodríguez,Teaching the Fundamental Theorem of Calculus: A Historical Reflection in MathDL.

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