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Calcular la integral de una parábola es un problema relacionado con el cálculo de un área. El problema de calcular el área de un segmento parábola fue resuelto genialmente por Arquímedes.

El foco cambió cuando los matemáticos se plantearon calcular el área bajo el gráfico de una función. Esto llevó al uso (y después a la definición) del concepto de integral.

Siguiendo a Leibniz, usamos este símbolo para representar la integral:

Polinomios e integral: notación integral, signo integral | matematicasVisuales

Nuestro interés ahora es calcular el área bajo una parábola, (una función cuadrática, un polinomio de grado 2)

Polinomios e integral, polinomios cuadráticos: área bajo una parábola | matematicasVisuales

Para calcular el área consideramos algunas áreas positivas y otras negativas:

Polinomios e integral, polinomios cuadráticos: áreas positivas y negativas | matematicasVisuales

La solución ya era conocida en tiempos de Cavalieri (quien pudo resolver la integral para varias funciones potencia). Un procedimiento para resolver la integral de estas funciones básicas pero muy importantes usa progresiones geométricas.

Polinomios e integral, polinomios cuadráticos: integración de funciones potencia. Cavalieri | matematicasVisuales

Una manera de resolver este tipo de problemas, desde un punto de vista abstracto, consiste en usar rectángulos para aproximar el área y considerar el límite cuando las bases de estos rectángulos tienda a cero. Este concepto se define formalmente en la integral de Riemann. La idea es compleja pero aquí solo nos interesa que de algún modo vamos a poder calcular el área.

Polinomios e integral, polinomios cuadráticos: integral de Riemann | matematicasVisuales

INTEGRAL INDEFINIDA

Si consideramos el límite de integración a fijo y podemos calcular la integral (área) para diferentes valores del límite suprerior de integración b entonces podemos definir una nueva función

Polinomios e integral: función integral  | matematicasVisuales

Estamos construyendo una nueva función F a partir de una función f. El valor de F en cada punto está determiando por la ecuación anterior. La función F se suele llamar integral indefinida, y decimos que se obtiene de f por integración. Decimos una integral indefinidad en vez de la integral indefinidad porque F depende también del límite inferior a. Diferentes valores dan lugar a diferentes funciones F. (Tom Apostol)

Cualesquiera dos integrales indefinidas de la misma función difieren solo en una constante.

En esta aproximación intuitiva usaremos rectángulos de igual base. Podemos ver cómo usando rectángulos podemos aproximar el área:

Polinomios e integral, polinomios cuadráticos: usando rectángulos para aproximar áreas | matematicasVisuales

Tomando dos valores diferentes para la altura de esos rectángulos (por ejemplo, la altura por la derecha y por la izquierda) podemos obtener dos aproximaciones diferentes (por ejemplo, si la función es creciente, de este modo obtenemos una aproximación por exceso y otra por defecto):

Polinomios e integral, polinomios cuadráticos: dos aproximaciones diferentes usando rectángulos | matematicasVisuales

Si usamos más y más rectángulos, con bases más pequeñas, la aproximación es cada vez mejor:

Polinomios e integral, polinomios cuadráticos: si usamos más rectángulos la aproximación es mejor | matematicasVisuales

Decimos que las funciones cuadráticas son funciones integrables pues podemos calcular una integral indefinida de una parábola.

Una función integral de una función cuadrática es un polinomio de grado 3.

Polinomios e integral, polinomios cuadráticos: Una función integral de una función cuadrática es un polinomio de grado 3 | matematicasVisuales
Polinomios e integral, polinomios cuadráticos: Una función integral de una función cuadrática es un polinomio de grado 3 | matematicasVisuales

Si cambiamos el límite inferior de integración, la función integral sube o baja pero no cambia su forma. (¿Por qué?)

Es decir, cambiando el límite inferior de integración obtenemos diferentes funciones integral pero son la misma salvo que se diferencian en una constante (traslación vertical).

Polinomios e integral, polinomios cuadráticos: si cambiamos el límite inferior de integración la función integral sube o baja | matematicasVisuales

Cuando integramos un polinomio de grado 1 obtenemos un polinomio de grado 2 y si integramos un polinomio de grado 2 obtenemos un polinomio de grado 3. Cuando integramos estas funciones el resultado que obtenemos es un polinomio de grado uno más que la función original.

Podemos recordar aquí que cuando derivamos una función cuadrática el resultado es un polinomio de grado uno menos que la función original (es ese caso un polinomio de grado 1, una recta)

Estos resultados están relacionados con el Teorema Fundamental del Cálculo.

Vamos a estudiar ahora el valor medio de una función en un intervalo, en nuestro caso de una función cuadrática.

El valor medio de una función f(x) en el intervalo [a,b] viene dada por

Funciones cuadráticas: valor medio de una función | matematicasVisuales

La idea es que el área bajo la función (positiva o negativa) ...

Funciones cuadráticas: valor medio de una función | matematicasVisuales

... es el área de un rectángulo cuya altura es el valor medio.

Funciones cuadráticas: valor medio de una función | matematicasVisuales

Puesto que las funciones cuadráticas son continuas, son un caso especial del Teorema del Valor Medio para integrales: Si f(x) es una función continua en un intervalo [a,b] entonces hay un número c en [a,b] tal que

Linear Functions: average value of a function | matematicasVisuales
Funciones cuadráticas: valor medio de una función | matematicasVisuales

REFERENCIAS

Michael Spivak, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.
Tom M. Apostol, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.

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