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Consideremos la función definida por

Logaritmos y exponenciales: fórmula de la hipérbola equilátera, proporcionalidad inversa | matematicasVisuales

Su gráfica es una hipérbola equilátera.

Logaritmos y exponenciales: hipérbola equilátera | matematicasVisuales

Recordamos que de todas las integrales de funciones potencia la única que no sabíamos integrar era aquella que tenía exponente -1, es decir 1/x.

Logaritmos y exponenciales: fórmula de la integral de funciones potencia | matematicasVisuales
Integral de funciones potencia
La integral de las funciones potencia era conocida por Cavalieri para n=1 hasta n=9. Fermat, entre otros, fue capaz de resolver este problema. Su técnica es un buen ejemplo del uso de progresiones geométricas.

En lo que sigue, a y b son dos números positivos. Estos dos números determinan un trapecio curvilíneo, un área.

Logaritmos y exponenciales: área de un trapecio curvilíneo, integral | matematicasVisuales

Si multiplicados a y b por el mismo número positivo, entonces el nuevo trapecio curvilíneo que se obtiene

Logaritmos y exponenciales: area de triángulo curvilíneo, integral | matematicasVisuales

tiene la misma área que el original:

Logaritmos y exponenciales: propiedad de la integral de la hipérbola, integral | matematicasVisuales
Logaritmos y exponenciales: propiedad importante de la integral de la hipérbola | matematicasVisuales

En el applet podemos ver esta propiedad. Podemos modificar los límites de integración y pulsando el botón 'play' podemos ver cómo el área se tranforma de un modo continuo.

Los rectángulos representan las áreas.

Logaritmos y exponenciales: aproximaciones del área con rectángulos | matematicasVisuales

Ya que el logaritmo natural puede definirse como una integral de la hipérbola equilátera, usando esta propiedad podemos justificar que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores.

C.H.Edwards Jr. escribió: "Las tablas de Napier y Briggs y sus seguidores revolucionaron el arte de los cálculos numéricos. Sin embargo, la importancia de los logaritmos en el desarrollo histórico del cálculo se deriva a partir de un descubrimiento publicado en 1647 por el jesuita belga Gregory St. Vincent que implica una sorprendente conexión entre el logaritmo natural y la hipérbola equilátera xy=1." (pag. 154)

En el siguiente applet podemos ver una "demostración" visual de esta propiedad.

Si consideramos sólo un rectángulo:

Logaritmos y exponenciales: aproximación del área por un solo rectángulo | matematicasVisuales

Si usamos más y más rectángulos podemos intuir que las dos áreas son iguales.

Logaritmos y exponenciales: una aproximación del área mejor usando más y más rectángulos, las dos áreas son iguales | matematicasVisuales

Ahora podemos usar esta propiedad para ver que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores.

[Serge Lang, p.181] Sea h un número positivo. Comparar el área bajo la curva 1/x entre 1 y 1+h para ver que

Logaritmos y exponenciales: | matematicasVisuales
Logaritmos y exponenciales: | matematicasVisuales

Ahora podemos resolver el siguiente límite:

Usando ahora un argumento muy parecido:

Logarithms and exponentials: | matematicasVisuales
Logarithms and exponentials | matematicasVisuales

Dividimos los dos miembros de nuestras desigualdades por un número positivo h y las desigualdades se preservan y obtenemos

Logarithms and exponentials | matematicasVisuales

Conforme h se acerca a 0 el cociente de Newton se comprime y se acerca a 1/x.

Esta es la base de un argumento para probar

Logarithms and exponentials: derivada del logaritmo | matematicasVisuales

Aunque en matematicasVisuales vamos a ver más aproximaciones intuitivas y visuales a las propiedades de la función logaritmo pienso que el comentario que hace Serge Lang en este punto es muy interesante: "A partir de ahora, no necesitamos más nuestra intuición geométrica. La noción de área la hemos usado para justificar la existencia de una función cuya derivada es 1/x y cuyo valor en el 1 es 0. Todos los argumentos que siguen dependen del hecho de que tenemos tal función."(Serge Lang, p. 177)

REFERENCIAS

A. I. Markushevich, Areas and Logarithms, D.C. Heath and Company, 1963.
Serge Lang, A First Course in Calculus, Third Edition, Addison-Wesley Publishing Company.
Tom M. Apostol, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.
Michael Spivak, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.
Otto Toeplitz, The Calculus, a genetic approach, The University of Chicago Press, 1963.
Kenneth A. Ross, Elementary Analysis: The Theory of Calculus, Springer-Verlag New York Inc., 1980.
C.H. Edwards, Jr., The Historical Development of the Calculus, Springer-Verlag New York Inc., 1979.

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