Hemos definido el logaritmo natural como una integral, un 'área' bajo la hipérbola equilátera:
Entonces hemos definido el número e como aquel número positivo tal que log(e)=1:
Podemos aproximar su valor usando rectángulos.
También es bastante habitual definir el número e como un límite de una sucesión. Esta definición está relacionada con el interés compuesto:
Estas dos definiciones son equivalentes, se refieren al mismo número y vamos a ver un modo intuitivo de ver esta equivalencia.
Para estudiar el límite
podemos considerar, para cada n, una serie de rectángulos cuyas bases están determinadas por los números
Vemos que hay n rectángulos y que el área de cada rectángulo es 1/n (para ello hacemos algunos cálculos). Entonces el área total es 1.
El último término de esta sucesión
es una aproximación por defecto del número e.
Con más y más rectángulos (considerando n más y más grande) la aproximación es mejor:
Podemos concluir que
Jugando con el applet podemos ver que la 'convergencia' al número e es lenta (para obtener una buena aproximación necesitamos un n muy grande).
Hay mejores maneras de calcular el valor de e pero pienso que esta es una manera que nos puede ayudar a entender mejor la idea de logaritmo, integral y limite.
Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función exponencial en un intervalo más y más amplio.
REFERENCIAS
A. I. Markushevich, Areas and Logarithms, D.C. Heath and Company, 1963.
Serge Lang, A First Course in Calculus, Third Edition, Addison-Wesley Publishing Company.
Tom M. Apostol, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.
Michael Spivak, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.
Otto Toeplitz, The Calculus, a genetic approach, The University of Chicago Press, 1963.
Kenneth A. Ross, Elementary Analysis: The Theory of Calculus, Springer-Verlag New York Inc., 1980.
MÁS ENLACES
Estudiamos varias propiedades de las funciones exponenciales, sus derivadas y una introducción al número e.
Integrando la hipérbola equilátera podemos definir una nueva función que es el logaritmo natural.
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Usando los logaritmos podemos multiplicar dos números haciendo una suma: el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
Diferentes hipérbolas permiten definir logaritmos y exponenciales (sus inversas).
Mercator publicó su famosa serie para la función logaritmo en 1668. Euler descubrió una serie práctica para el cálculo.
Las funciones exponenciales pueden modelar la desintegración radioactiva.
Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función exponencial en un intervalo más y más amplio.
La función exponencial compleja extiende la función exponencial real al plano complejo.
La función exponencial compleja es periodica. Su desarrollo de Taylor converge en todo el plano complejo.
El Teorema Fundamental del Cálculo afirma que toda función continua tiene una antiderivada y nos muestra cómo construir una usando la integral.
El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo nos proporciona una herramienta muy potente para calcular integrales definidas (si conocemos una primitiva o antiderivada de la función).
Como una introducción a las funciones lineales a trozos estudiamos el caso más sencillo, las funciones lineales restringidas a un intervalo abierto: sus gráficas son segmentos.
Una función constante a trozos (o función escalonada) está definida por varias subfunciones que son funciones constantes.
Una función continua lineal a trozos se define con varios segmentos o rayos que están unidos de un modo continuo, sin saltos entre ellos.
La integral de las funciones potencia era conocida por Cavalieri para n=1 hasta n=9. Fermat, entre otros, fue capaz de resolver este problema. Su técnica es un buen ejemplo del uso de progresiones geométricas.
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Las funciones monótonas definidas en intervalos cerrados son interables. En estos casos podemos acotar el error que cometemos al aproximar la integral usando rectángulos.
Si consideramos el límite inferior de integración fijado y podemos calcular la integral definida para diferentes valores del límite superior de integración entonces podemos definir una nueva función: una integral indefinida de f.
Se trata de encontrar el polinomio de menor grado que pasa por una serie de puntos del plano. Es un problema de interpolación que aquí resolvemos usando los polinomios de Lagrange.
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