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Hemos definido el logaritmo natural como una integral, un 'área' bajo la hipérbola equilátera:

Logaritmos y exponenciales: | matematicasVisuales

Entonces hemos definido el número e como aquel número positivo tal que log(e)=1:

Logaritmos y exponenciales: definición del número e | matematicasVisuales

Podemos aproximar su valor usando rectángulos.

Logaritmos y exponenciales: definición del número e | matematicasVisuales

También es bastante habitual definir el número e como un límite de una sucesión. Esta definición está relacionada con el interés compuesto:

Logaritmos y exponenciales: definición del número e como un límite relacionado con el interés compuesto | matematicasVisuales

Estas dos definiciones son equivalentes, se refieren al mismo número y vamos a ver un modo intuitivo de ver esta equivalencia.

Para estudiar el límite

Logaritmos y exponenciales: este límite es el número e | matematicasVisuales

podemos considerar, para cada n, una serie de rectángulos cuyas bases están determinadas por los números

Logaritmos y exponenciales:  | matematicasVisuales

Vemos que hay n rectángulos y que el área de cada rectángulo es 1/n (para ello hacemos algunos cálculos). Entonces el área total es 1.

Logaritmos y exponenciales: | matematicasVisuales

El último término de esta sucesión

Logaritmos y exponenciales:  | matematicasVisuales

es una aproximación por defecto del número e.

Con más y más rectángulos (considerando n más y más grande) la aproximación es mejor:

Logaritmos y exponenciales: | matematicasVisuales
Logaritmos y exponenciales:  | matematicasVisuales

Podemos concluir que

Logaritmos y exponenciales: definición del número e como un límite de una sucesión relacionada con el interés compuesto | matematicasVisuales

Jugando con el applet podemos ver que la 'convergencia' al número e es lenta (para obtener una buena aproximación necesitamos un n muy grande).

Hay mejores maneras de calcular el valor de e pero pienso que esta es una manera que nos puede ayudar a entender mejor la idea de logaritmo, integral y limite.

Polinomios de Taylor (1): función exponencial
Al aumentar el grado del polinomio de Taylor se aproxima a la función exponencial en un intervalo más y más amplio.

REFERENCIAS

A. I. Markushevich, Areas and Logarithms, D.C. Heath and Company, 1963.
Füsum Akman, Proofs Without Words Under the Magic Curve. The Mathematical Association of America (Classroom capsules).
Serge Lang, A First Course in Calculus, Third Edition, Addison-Wesley Publishing Company.
Tom M. Apostol, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.
Michael Spivak, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.
Otto Toeplitz, The Calculus, a genetic approach, The University of Chicago Press, 1963.
Kenneth A. Ross, Elementary Analysis: The Theory of Calculus, Springer-Verlag New York Inc., 1980.

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