Una función lineal a trozos es una función cuya gráfica está formada por segmentos. Es decir, las piezas de esta función a trozos son
funciones afines.
La gráfica de una función lineal a trozos puede estar formada por segmentos o rayos.
Ya hemos estudiado ejemplos básicos de este tipo de funciones: las funciones escalonadas y las funciones continuas lineales a trozos.
Una función continua lineal a trozos se define con varios segmentos o rayos que están unidos de un modo continuo, sin saltos entre ellos.
Una función a trozos puede ser continua en todos sus subdominios y, sin embargo, no ser continua en todo su dominio. Por ejemplo,
una función de este tipo puede contener saltos de discontinuidad en algunos puntos.
Vamos ahora a estudiar estas funciones lineales en general, es decir, que no tiene que ser continuas. Sus gráficas estarán formadas por
segmentos desconectados. Existirán puntos en los que un pequeño cambio en la x va a producir un salto en el valor de la función.
Este tipo de funciones discontinuas tan sencillas las usamos en muchas situaciones. Por ejemplo, cuando representamos precios o impuestos.
No es lo mismo comprar un kilo de café que miles de kilos: el precio no es el mismo.
Recordamos que la gráfica de una función lineal es una línea recta.
La derivada de una función lineal es el ejemplo más básico de derivada, es una función constante.
La derivada de una función lineal es la función constante cuyo valor es la pendiente de la recta.
La derivada de una función lineal a trozos es una función escalonada (las pendientes de los distintos segmentos). Estas funciones son
diferenciables a trozos puesto que en los extremos de los subintervalos la función no es derivable.
Si consideramos ahora la función integral de esta función escalonada obtenemos una función continua. Para calcular esta función integral simplemente
estamos sumando (o restando) rectángulos. Esta función es una función lineal a trozos y cada trozo es una traslación vertical de la pieza
original. Aunque la función original no es continua esta función integral sí que lo es. Esto es una consecuencia del
Teorema Fundamental del Cálculo.
Si cambiamos el límite inferior de integración obtenemos una traslación vertical de la misma función integral.
Ahora vamos a estudiar la integral de una función lineal a trozos.
La integral de una función lineal no constante es una función cuadrática, un polinomio de grado 2.
Es fácil calcular el área bajo una línea recta y el eje de abcisas. Es un primer ejemplo de integración que nos permite entender la idea e introducir algunos conceptos básicos: integral como área, límites de integración, áreas positivas y negativas.
Función linear a trozos f con dos trozos:
La función integral F esta compuesta por varias piezas que son cuadráticas (parábolas). Es una función continua que es diferenciable a trozos.
Puede no ser 'suave' (es decir, no es diferenciable) en los puntos en los que se unen dos trozos de parábola.
Si el salto se hace más pequeño entonces la función integral F se suaviza. Ya sabemos que si f
es continua entonces F es más que continua, es diferenciable.
En el siguiente vídeo jugamos con funciones lineales a trozos con tres trozos:
El valor medio de una función f(x) en un intervalo [a,b] viene dado por
En el siguiente vídeo practicamos con este concepto en el caso de que f(x) sea una función lineal a trozos.
Puesto que estas funciones no son, en general, continuas, no podemos usar el Teorema del Valor Medio para integrales y NO PODEMOS
afirmar que exista un número c en [a,b] tal que
Por ejemplo, el siguiente caso:
REFERENCIAS
Tom M. Apostol, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.
Como una introducción a las funciones lineales a trozos estudiamos el caso más sencillo, las funciones lineales restringidas a un intervalo abierto: sus gráficas son segmentos.
Dos puntos determinan una línea recta. Como función son las funciones afines. Estudiaremos la pendiente de la recta y como podemos obtener la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Estudiaremos el corte con el eje de abcisas.
Potencias con exponente natural son funciones importantes pues son la base de los polinomios. Sus funciones inversas son las raíces que son funciones potencia con exponente racional positivo.
Las funciones cuadráticas son polinomios de grado 2. Sus gráficas son parábolas. Para encontrar los puntos de corte con el eje de abcisas tenemos que resolver una ecuación. El vértice de la parábola es un máximo o mínimo de la función.
Se trata de encontrar el polinomio de menor grado que pasa por una serie de puntos del plano. Es un problema de interpolación que aquí resolvemos usando los polinomios de Lagrange.
Los polinomios de Lagrange son polinomios que pasan por n puntos dados. Usamos los polinomios de Lagrange para explorar funciones polinómicas más generales y sus derivadas.
Es fácil calcular el área bajo una línea recta y el eje de abcisas. Es un primer ejemplo de integración que nos permite entender la idea e introducir algunos conceptos básicos: integral como área, límites de integración, áreas positivas y negativas.
Calcular el área bajo una parábola es mucho más difícil que calcular áreas bajo una recta. Aquí mostramos como aproximar el área usando rectángulos y que una función integral de un polinomio de grado 2 es un polinomio de grado 3.
La integral de las funciones potencia era conocida por Cavalieri para n=1 hasta n=9. Fermat, entre otros, fue capaz de resolver este problema. Su técnica es un buen ejemplo del uso de progresiones geométricas.
Estudiamos algunos conceptos básicos sobre integración aplicados a funciones polinómicas de cualquier grado. Las funciones integrales de funciones polinómicas son polinomios de un grado más que la función original.
Las funciones monótonas definidas en intervalos cerrados son interables. En estos casos podemos acotar el error que cometemos al aproximar la integral usando rectángulos.
Si consideramos el límite inferior de integración fijado y podemos calcular la integral definida para diferentes valores del límite superior de integración entonces podemos definir una nueva función: una integral indefinida de f.
El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo nos proporciona una herramienta muy potente para calcular integrales definidas (si conocemos una primitiva o antiderivada de la función).
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