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Una función lineal a trozos es una función cuya gráfica está formada por segmentos. Es decir, las piezas de esta función a trozos son funciones afines.

La gráfica de una función lineal a trozos puede estar formada por segmentos o rayos.

Ya hemos estudiado ejemplos básicos de este tipo de funciones: las funciones escalonadas y las funciones continuas lineales a trozos.

Funciones constantes a trozos
Una función constante a trozos (o función escalonada) está definida por varias subfunciones que son funciones constantes.
Funciones continuas lineales a trozos
Una función continua lineal a trozos se define con varios segmentos o rayos que están unidos de un modo continuo, sin saltos entre ellos.

Una función a trozos puede ser continua en todos sus subdominios y, sin embargo, no ser continua en todo su dominio. Por ejemplo, una función de este tipo puede contener saltos de discontinuidad en algunos puntos.

Vamos ahora a estudiar estas funciones lineales en general, es decir, que no tiene que ser continuas. Sus gráficas estarán formadas por segmentos desconectados. Existirán puntos en los que un pequeño cambio en la x va a producir un salto en el valor de la función.

Funciones lineales a trozos: discontinuidad de salto | matematicasVisuales

Este tipo de funciones discontinuas tan sencillas las usamos en muchas situaciones. Por ejemplo, cuando representamos precios o impuestos. No es lo mismo comprar un kilo de café que miles de kilos: el precio no es el mismo.

Recordamos que la gráfica de una función lineal es una línea recta.

La derivada de una función lineal es el ejemplo más básico de derivada, es una función constante.

Funciones polinómicas y derivada (1): Funciones afines
La derivada de una función lineal es la función constante cuyo valor es la pendiente de la recta.

La derivada de una función lineal a trozos es una función escalonada (las pendientes de los distintos segmentos). Estas funciones son diferenciables a trozos puesto que en los extremos de los subintervalos la función no es derivable.

Funciones lineales a trozos: discontinuidad de salto | matematicasVisuales

Si consideramos ahora la función integral de esta función escalonada obtenemos una función continua. Para calcular esta función integral simplemente estamos sumando (o restando) rectángulos. Esta función es una función lineal a trozos y cada trozo es una traslación vertical de la pieza original. Aunque la función original no es continua esta función integral sí que lo es. Esto es una consecuencia del Teorema Fundamental del Cálculo.

Funciones lineales a trozos: función integral continua de una función lineal a trozos no continua | matematicasVisuales

Si cambiamos el límite inferior de integración obtenemos una traslación vertical de la misma función integral.

Funciones lineales a trozos: traslación de la función integral cambiando el límite inferior de integración | matematicasVisuales

Ahora vamos a estudiar la integral de una función lineal a trozos.

La integral de una función lineal no constante es una función cuadrática, un polinomio de grado 2.

Funciones polinómicas e integral (1): Funciones afines
Es fácil calcular el área bajo una línea recta y el eje de abcisas. Es un primer ejemplo de integración que nos permite entender la idea e introducir algunos conceptos básicos: integral como área, límites de integración, áreas positivas y negativas.

Funciones lineales a trozos: La integral de una función lineal no constante es una función cuadrática, un polinomio de grado 2 | matematicasVisuales

Puedes jugar con una función linear a trozos f con dos trozos:

La función integral F esta compuesta por varias piezas que son cuadráticas (parábolas). Es una función continua que es diferenciable a trozos.

Puede no ser 'suave' (es decir, no es diferenciable) en los puntos en los que se unen dos trozos de parábola.

Funciones lineales a trozos: Puede no ser 'suave' (es decir, no es diferenciable)  en los puntos en los que se unen dos trozos de parábola | matematicasVisuales
Funciones lineales a trozos: Puede no ser 'suave' (es decir, no es diferenciable)  en los puntos en los que se unen dos trozos de parábola | matematicasVisuales

Si el salto se hace más pequeño entonces la función integral F se suaviza. Ya sabemos que si f es continua entonces F es más que continua, es diferenciable.

Funciones lineales a trozos: Si el salto se hace más pequeño entonces la función integral se suaviza | matematicasVisuales

En el siguiente applet podemos jugar con funciones lineales a trozos con tres trozos:

El valor medio de una función f(x) en un intervalo [a,b] viene dado por

Funciones lineales a trozos:  valor medio de una función | matematicasVisuales

En el siguiente applet podemos jugar con este concepto en el caso de que f(x) sea una función lineal a trozos.

Puesto que estas funciones no son, en general, continuas, no podemos usar el Teorema del Valor Medio para integrales y NO PODEMOS afirmar que exista un número c en [a,b] tal que

Funciones lineales a trozos:  valor medio de una función | matematicasVisuales

Por ejemplo, el siguiente caso:

Funciones lineales a trozos:  valor medio de una función | matematicasVisuales

REFERENCIAS

Tom M. Apostol, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.
Gilbert Strang, Sums and Differences vs. Integrals and Derivatives, The College Mathematics Journal, January 1990. JSTOR.
Anthony J. Macula, The Point-Slope Formula Leads to the Fundamental Theorem of Calculus, The College Mathematics Journal, Mathematical Association of America, 1995.
Michael Spivak, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.

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