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Después de estudiar las funciones racionales lineales vamos a considerar funciones que tienen un denominador que es un polinomio de grado 2 (la gráfica del denominador es una parábola).

El caso más sencillo es cuando el numerador es una constante y el denominador un polinomio de grado 2.

Funciones racionales: fórmula de una función racional que tiene un polinomio de grado 2 en el denominador y el numerador es una constante | matematicasVisuales

Este tipo de funciones racionales puede tener dos asíntotas verticales:

Funciones racionales: función racional que tienen dos asíntotas verticales | matematicasVisuales

Puede tener sólo una asíntota vertical:

Funciones racionales: función racional con una sola asíntota vertical | matematicasVisuales

O ninguna asíntota vertical. Esto depende de las raíces del denominador (y, veremos que también está relacionado con las raíces del numerador de alguna manera)

Funciones racionales: función racional sin asíntotas, continua en toda la recta real, su dominio son todos los números reales | matematicasVisuales

La función no está definida para las raíces del denominador, los valores que hacen cero el denominador pues no podemos dividir entre cero. Estos valores se llaman las singularidades de la función. Es interesante estudiar el comportamiento de la función en las proximidades de las singularidades. En algunos casos, tal como ya hemos visto, dependiendo del comportamiento en las proximidades de la singularidad decimos que la función tiene una asíntota vertical.

En general, si x0 y x1 son dos raíces del denominador

Funciones racionales: fórmula con dos raíces en el denominador | matematicasVisuales

Entonces el dominio de la función racional es:

Si consideramos el caso extremo en el que el numerador es igual a 0, la función racional es la recta horizontal y=0 pero con dos agujeros, un solo agujero y la recta continua sin agujeros (depende del denominador).

Funciones racionales: Un caso extremo con el numerador igual a 0 la función es el eje de abcisas quizás con algún agujero | matematicasVisuales

Este tipo de funciones que estamos estudiando siempre tienen una asíntota horizontal (y=0).

Ahora vamos a considerar funciones racionales que tienen en el numerador un polinomio de grado 1 (la gráfica del numerador es una recta no horizontal):

Funciones racionales: fórmula de una función racional que tiene un polinomio de grado 1 en el numerador | matematicasVisuales

En el siguiente mathlet podemos jugar con estos dos elementos de este tipo de funciones racionales: una recta (el numerador, en azul) y una parábola (el denominador, en naranja):

Como antes, estas funciones racionales pueden tener dos, una o ninguna singularidad. El comportamiento en las proximidades de las posibles singularidades (si se 'hace más o menos infinito') depende del punto en el que la recta corta al eje de abcisas:

Funciones racionales: comportamiento en las asíntotas | matematicasVisuales

Cuando la función tiene dos singularidades y el numerador corta al eje de abcisas in uno de esos puntos, entonces en esta singularidad no tenemos una asíntota sino un 'agujero'. Decimos que esta singularidad es una singularidad evitable.

Funciones racionales: fórmula con una singularidad evitable | matematicasVisuales
Funciones racionales: singularidad evitable, un agujero | matematicasVisuales

Por ejemplo, la fórmula correspondiente a la gráfica anterior es:

Nos fijamos en que el numerador y el denominador tienen (x-1) como factor común.

Otro caso diferente es cuando la función tiene una singularidad pero de grado 2 (la parábola solo toca el eje de abcisas, el polinomio de grado del denominador tiene una raíz doble) y el numerador tiene la misma raíz, entonces tenemos una asíntota.

Funciones racionales: fórmula con una singularidad de grado 2 y la misma raíz en el numerador, tenemos una asíntota | matematicasVisuales
Funciones racionales: una singularidad de grado 2 y la misma raíz en el numerador, tenemos una asíntota | matematicasVisuales

Por ejemplo, la fórmula correspondiente a la gráfica anterior es:

Podemos ver que en algunos casos la gráfica de la función corta a la asíntota horizontal y = 0:

Funciones racionales: la función puede cortar a la asíntota horizontal | matematicasVisuales

Podemos sumar una constante p a una función racional que tenga un denominador de grado 2:

Funciones racionales: fórmula de una función racional con denominador un polinomio de grado 2 a la que añadimos una constante | matematicasVisuales

En el siguiente mathlet podemos jugar con los tres elementos de este tipo de funciones racionales: un número p (en verde, una recta horizontal), el numerador (una recta, en azul) y el denominador (una parábola, en naranaja):

Este tipo de funciones racionales tiene una asíntota horizontal:

Cuando decimos que una función racional con un polinomio de grado 2 en el denominador puede tener dos, una o ninguna singularidad estamos pensandos en singularidades reales. Si consideramos estas funciones en el plano complejo entonces estas funciones tienen siempre dos singularidades (reales o) complejas. (Esto es una consecuencia del Teorema Fundamental del Álgebra, probado por Gauss).

REFERENCIAS

G.E. Shilov, Calculus of Rational Functions, Mir Publishers, Moscow.
I.M. Gelfand, E.G. Glagoleva, E.E. Shnol, Functions and Graphs, Dover Publications, Inc., Mineola, New York.

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