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Ya hemos estudiado el comportamiento asintótico de varias funciones racionales. Es decir, cómo es o cuál es la tendencia de una función cuando el valor de la variable x es muy grande en valor absoluto.

El caso más sencillo es cuando el grado del numerador es menor que el grado del denominador. Estas funciones racionales se llaman propias. Las funciones racionales propias tienen una asíntota horizontal y=0, es decir, el eje de abcisas. Cuando consideramos valores de x grandes (tanto positivos como negativos) el valor de una función racional propia es muy pequeño y lo podemos hacer tan pequeño como queramos tomando valores de x suficientemente grandes. El ejemplo básico es la hipérbola equilátera (proporcionalidad inversa).

Si el grado del numerador es igual al grado del denominador, la función racional tiene una asíntota horizontal y=k. Ya hemos visto ejemplos cuando el grado del numerador y denominador es 1 o cuando el grado del numerador y denominador es 2.

Funciones racionales (1): Funciones racionales lineales
Las funciones racionales son las que pueden escribirse como cociente de dos polinomios. Las funciones racionales lineales son las más sencillas de este tipo.
Funciones racionales (2): el denominador es un polinomio de grado 2
Si el denominador de una función racional es un polinomio de grado 2 la función tiene dos, una o ninguna singularidad real (asíntotas verticales y singularidades evitables).

Si el grado del numerador es exáctamente uno más que el grado del numerador la función racional tiene una asíntota oblicua.

Funciones racionales (3): Asíntota oblicua
Para valores grandes en valor absoluto de la variable x algunas funciones se comportan como una recta oblicua. A esta recta la llamamos asíntota oblicua de la función.

En general, si dividimos el numerador de una función racional por su denominador obtenemos un polinomio en el cociente Q(x) y un polinomio que es el resto. El grado del resto es menor que el grado del denominador. Este resto, cuando lo dividimos entre el denominador, va a contribuir muy poco cuando calculemos los valores de la función con valores de |x| grandes.

Funciones racionales: fórmula, polinomio más una función racional propia | matematicasVisuales

Una función racional se puede descomponer como la suma de un polinomio (el cociente) más una función racional propia.

El comportamiento asintótico de la función racional sigue el comportamiento del polinomio del cociente: f(x) se comporta como Q(x) para valores grandes de x.

Vamos a empezar con el caso de una función racional que tiene un polinomio de grado 2 como polinomio cociente, un número como resto y un polinomio de grado 1 en el denominador.

Funciones racionales: fórmula, polinomio de grado 2 más una función racional propia | matematicasVisuales

En el primer applet podemos jugar con los tres elementos de este tipo de funciones racionales: el polinomio del cociente (en verde, una parábola), el numerador (en este caso, un número, en azul una recta horizontal) y el denominador (una recta, en naranja).

Por ejemplo:

Funciones racionales: gráfica de una función racional con comportamiento asintótico como una parábola | matematicasVisuales

La fórmula para la gráfica anterior es:

La ecuación del polinomio del cociente (función asintótica) es:

Otro ejemplo:

Funciones racionales: gráfica de una función racional con comportamiento asintótico como una parábola | matematicasVisuales

En el siguiente applet podemos ver funciones racionales que tienen un polinomio de grado 3 como cociente, un número como resto y un polinomio de grado 1 en el denominador.

Funciones racionales: fórmula, polinomio de grado 3 más una función racional propia | matematicasVisuales

Los tres elementos de este tipo de funciones racionales son: Un polinomio cociente (en verde, una función cúbica), un numerador (un número, en azul, una recta horizontal) y el denominador (una recta naranja)

Por ejemplo:

Funciones racionales: gráfica de una función racional con comportamiento asintótico como a función cúbica | matematicasVisuales

La formula de la gráfica anterior es:

La ecuación del polinomio del cociente (función asintótica) es:

Otro ejemplo:

Funciones racionales: gráfica de una función racional con comportamiento asintótico como una función cúbica | matematicasVisuales

El siguiente applet es parecido.

Funciones racionales: fórmula, polinomio de grado 2 más una función racional propia con  polinomio de grado 2  en el denominador | matematicasVisuales

Por ejemplo:

Funciones racionales: gráfica de un polinomio de grado 2 mas una función racional propia con polinomio de grado 2 en el denominador, comportamiento asintótico como una parábola con dos singularidade | matematicasVisuales

La formula de la gráfica anterior es:

La ecuación del polinomio del cociente (función asintótica) es:

Otro ejemplo:

Funciones racionales: gráfica de un polinomio de grado 2 mas una función racional propia con a grado 2 polinomio in the denominador, comportamiento asintótico como una parábola sin singularidades reales | matematicasVisuales

En el último applet de la serie podemos jugar con funciones racionales que tiene un polinomio de grado 3 como polinomio cociente, un polinomio de grado 1 como resto y un polinomio de grado 2 en el denominador.

Funciones racionales: fórmula, rational functions that has a grado 3 polinomio as a polinomio quotient, a grado 1 polinomio as a remainder and a grado 2 polinomio as a denominador | matematicasVisuales

For ejemplo:

Funciones racionales: gráfica de una función racional con comportamiento asintótico como a cubic con two singularities | matematicasVisuales

La formula de la gráfica anterior es:

La ecuación del polinomio del cociente (función asintótica) es:

Otro ejemplo:

Funciones racionales: gráfica de una función racional con comportamiento asintótico como a cubic con two singularities | matematicasVisuales

REFERENCIAS

G.E. Shilov, Calculus of Rational Functions, Mir Publishers, Moscow.
I.M. Gelfand, E.G. Glagoleva, E.E. Shnol, Functions and Graphs, Dover Publications, Inc., Mineola, New York.

MÁS ENLACES

Funciones racionales (1): Funciones racionales lineales
Las funciones racionales son las que pueden escribirse como cociente de dos polinomios. Las funciones racionales lineales son las más sencillas de este tipo.
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Si el denominador de una función racional es un polinomio de grado 2 la función tiene dos, una o ninguna singularidad real (asíntotas verticales y singularidades evitables).
Funciones polinómicas (1): funciones afines
Dos puntos determinan una línea recta. Como función son las funciones afines. Estudiaremos la pendiente de la recta y como podemos obtener la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Estudiaremos el corte con el eje de abcisas.
Funciones polinómicas (2): funciones cuadráticas
Las funciones cuadráticas son polinomios de grado 2. Sus gráficas son parábolas. Para encontrar los puntos de corte con el eje de abcisas tenemos que resolver una ecuación. El vértice de la parábola es un máximo o mínimo de la función.
Potencias con exponentes naturales (y exponentes racionales positivos)
Potencias con exponente natural son funciones importantes pues son la base de los polinomios. Sus funciones inversas son las raíces que son funciones potencia con exponente racional positivo.
Funciones polinómicas (3): funciones cúbicas
Las funciones cúbicas son polinomios de grado 3. Una función cúbica real siempre corta al eje de abcisas por lo menos una vez.
Funciones polinómicas (4): Polinomios de interpolación de Lagrange
Se trata de encontrar el polinomio de menor grado que pasa por una serie de puntos del plano. Es un problema de interpolación que aquí resolvemos usando los polinomios de Lagrange.
Polinomios de Taylor (4): función racional 1
La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
Polinomios de Taylor (5): función racional 2
La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
Polinomios de Taylor (6): función racional con 2 singularidades
La función tiene dos singularidades reales, en -1 y en 1. Los polinomios de Taylor aproximan la función entre en un intervalo simétrico respecto al centro del desarrollo. Su radio es la distancia a la singulardidad más próxima.
Polinomios de Taylor (7): función racional sin singularidades reales
La función es continua y no tiene singularidades reales. Sin embargo, los polinomios de Taylor sólo aproximan la función en un intervalo. Entenderemos un poco mejor este comportamiento estudiando una función compleja.
Polinomios de Taylor: función racional compleja con 2 singularidades
Podemos estudiar la aproximación a esta función por el polinomio de Taylor y su convergencia en el círculo de convergencia.
Funciones polinómicas complejas (1): Potencias de exponente natural
Las potencias de exponente natural tienen un cero de multiplicidad n.
Funciones polinómicas complejas (2): Polinomio de grado 2
Un polinomio de grado 2 tiene dos raíces o ceros. En esta representación podemos ver los óvalos de Cassini y la lemniscata.
Funciones polinómicas complejas (3): Polinomio de grado 3
Un polinomio de grado 3 tiene tres ceros o raíces. Podemos modificar los tres ceros de este tipo de polinomios.
Funciones polinómicas complejas (4): Polinomio de grado n
Un polinomio de grado n tiene n ceros o raíces.
Funciones polinómicas y derivada (2): Funciones cuadráticas
La derivada de una función cuadrática es una función afín, es decir, es una línea recta.
Funciones polinómicas y derivada (3): Funciones cúbicas
La derivada de una función cúbica es una función cuadráticas, es decir, una parábola
Integral definida
La integral formaliza el concepto intuitivo de área. Para su definición aproximamos el área usando rectángulos.