matematicas visuales home | visual math home

Una función racional es una función que puede escribirse como cociente de dos polinomios.

Funciones racionales(1), funciones racionales lineales:  fórmula | matematicasVisuales

Si el denominador es un número (un polinomio de grado 0), entonces la función es un polinomio. Por lo tanto, las funciones polinómicas son funciones racionales. En estas páginas sobre funciones racionales vamos a considerar solamente funciones racionales cuyo denominador es un polinomio de grado mayor que 0.

Las funciones racionales pueden tener características que las diferencian de las funciones polinómicas y que vamos a revisar en estas páginas:

- Singularidades: En algunos casos, algunos valores de x son problemáticos. Esto es debido a que las funciones racionales hay un denominador que puede ser 0 y no podemos dividir entre 0. Esos valores de x que hacen 0 el denominador juegan un papel especial. Como no podemos calcular el valor de la función en esos valores decimos que la función no está definida para esos valores de x.

También decimos que esos puntos no pertenecen al dominio de la función. El dominiio de una función racional está determinado por las restricciones impuestas por el denominador: dividir entre 0 es imposible.

El dominio es el conjunto de los números reales para los que la función está definida. En el caso de las funciones racionales es el conjunto de todos los números reales que no son ceros del denominador. Por lo tanto, para determinar el dominio de una función racional tenemos que encontrar los ceros reales del denominador.

A estos puntos se les llama singularidades y es interesante ver cómo se comporta la función cerca de esos puntos.

- Puntos de corte con el eje de abcisas: Se trata de encontrar los valores de x que hacen que el gráfico de la función cruce el eje de abcisas. Son los valores de x para los que f(x)=0.

- Continuidad: Las funciones racionales son continuas en su dominio (pero su dominio puede no ser todos los números reales).

- Comportamiento "en el infinito": Es interesante el estudio del comportamiento de la función cuando x se hace más y más grande en valor absoluto (siendo x positivo o negativo). Veremos que en algunos casos la función se aproxima a una recta (horizontal u oblicua). En estos casos diremos que la función tiene una asíntota horizontal u oblicua (según los casos). En todos los casos el comportamiento de una función racional "en el infinito" está determinado por una función polinómica.

Empezamos nuestro estudio con las funciones racionales lineales. Una función racional lineal es una función racional cuyo numerador es un número o un polinomio de grado 1 y que tiene por denominador un polinomio de grado 1.

Funciones racionales(1), funciones racionales lineales: fórmula función racional lineal | matematicasVisuales

La más simple de las funciones racionales es

Funciones racionales(1), funciones racionales lineales:  fórmula de la hipérbola equilátera, proporcionalidad inversa  | matematicasVisuales
Funciones racionales(1), funciones racionales lineales:  hyperbola  | matematicasVisuales

Al dibujar su gráfica obtenemos una hipérbola equilátera.

Cuando x=0 no podemos calcular el valor de la función porque no podemos dividir entre 0 (abusando del lenguaje, a veces se dice que 'el cociente se hace infinito'). La función no está definida en x=0. Es decir, el dominio de la función es:

Para x = 1 resulta y = 1. Para x > 1 el numerador es más pequeño que el denominador y el cociente resulta menor que 1.

Funciones racionales(1), funciones racionales lineales:  hipérbola, numerador y denominador, comportamiento asintótico | matematicasVisuales

Veamos con más detalle el comportamiento de la función cuando x se hace más y más grande. Conforme aumenta x la fracción 1/x disminuye. Por lo tanto, si nos movemos desde el 0 hacia la derecha, el valor de y=1/x es cada vez menor y la curva se aproxima al eje de abcisas tanto como queramos. Es decir, la función se comporta como una recta horizontal. A esta recta la llamamos asíntota horizontal.

La recta y=b es una asíntota horizontal de la gráfica de f(x) si f(x) se aproxima a b conforme x aumenta o disminuye sin cota.

En este primer caso, la asíntota horizontal es el eje de abcisas:

Cuando nos aproximamos a 0 por el lado del 1 (valores positivos), el denominador se está aproximando a 0 mientras que el numerador es igual a 1. La función aumenta cuanto queramos, aumenta sin límite y obtenemos una rama que se 'va hacia el infinito'.

Funciones racionales(1), funciones racionales lineales:  hipérbola, asíntota vertical en x=0 | matematicasVisuales

Si nos aproximamos a 0 por la izquierda (valores negativos) entonces la gráfica de la función se 'va hacia el infinito' pero negativo.

Decimos que la función tiene una asíntota vertical. La gráfica de esta función está dividida en dos 'ramas'.

La recta x=b es una asíntota vertical de la gráfica de f(x) si f(x) crece o decrece sin cota conforme x se acerca a b por la derecha o por la izquierda.

Una función racional tendrá asíntotas verticales en los ceros del denominador (pero tendremos que comprobar el comportamiento de la función en los casos en que un cero del denominador también sea cero del numerador).

En el caso de la hipérbola equilátera, la asíntota vertical es:

Funciones racionales(1), funciones racionales lineales: hipérbola con sus dos asíntotas, vertical y horizontal | matematicasVisuales

Si añadimos un número al denominador, el resultado es una traslación de la hipérbola a lo largo del eje de abcisas:

Funciones racionales(1), funciones racionales lineales: traslación de la hipérbola a lo largo del eje de abcisas | matematicasVisuales
Funciones racionales(1), funciones racionales lineales: traslación de la hipérbola a lo largo del eje de abcisas | matematicasVisuales

Si cambiamos la pendiente de la recta que repesenta al denominador el resultado es una contracción o expansión a lo largo del eje de ordenadas:

Funciones racionales(1), funciones racionales lineales: hipérbola, contracción o expansión a lo largo del eje de ordenadas | matematicasVisuales
Funciones racionales(1), funciones racionales lineales: hipérbola, contracción o expansión a lo largo del eje de ordenadas | matematicasVisuales

Combinando ambos tenemos una traslación y una contracción (o expansión):

Funciones racionales(1), funciones racionales lineales: hipérbola, contracción y traslación | matematicasVisuales
Funciones racionales(1), funciones racionales lineales:  hipérbola, contracción y traslación | matematicasVisuales

Vamos a considerar ahora el caso más general de función racional lineal en el que tanto el numerador como el denominador son polinomios de grado 1, es decir, dos rectas (con c distinto de 0).

Funciones racionales(1), funciones racionales lineales: fórmula de función racional lineal más general, tanto el numerador como el denominador son polinomios de grado 1 | matematicasVisuales

El dominio de una función racional lineal es:

Una función racional lineal tiene una asíntota horizontal:

Si el numerador y el denominador no tienen un factor común entonces la función racional tiene una asíntota vertical:

Funciones racionales(1), funciones racionales lineales: asíntota vertical | matematicasVisuales

Cuando las dos rectas tienen la misma raíz (el numerador y el denominador tienen un factor común) tenemos un 'agujero', una 'singularidad evitable'. A veces se dice que es una 'discontinuidad evitable' ( siendo escrupulosos quizás se podría considerarse esta expresión como un abuso del lenguaje si tenemos en cuenta que la continuidad solo está definida en puntos del dominio de la función). La idea es que podemos simplificar la fracción y obtenemos una nueva función que es casi igual que la original pero que tiene un dominio mayor (pues 'rellenamos el agujero').

Funciones racionales(1), funciones racionales lineales: un agujero, una singularidad evitable | matematicasVisuales
Funciones racionales(1), funciones racionales lineales: un agujero, una singularidad evitable | matematicasVisuales

Una singularidad evitable es un valor de x para el que se le puede asignar un valor de modo que la nueva función sea continua en ese punto.

Las funciones racionales pueden tener dos tipos de singularidades: En algunos casos la función tiene una asíntota vertical (la singularidad es esencial o no evitable) y en otros casos tiene un 'agujero' (singularidad evitable).

Es interesante distinguir dos tipos de funciones racionales cuando están expresadas como cociente de polinomios: funciones racionales propias e impropias. Una función racional propia es aquella que tiene el grado del numerador menor que el grado del denominador. En otro caso decimos que es impropia. Por ejemplo, la función 1/x es propia pero, en muchos casos, como hemos visto en los ejemplos anteriores, una función racional lineal puede ser impropia pues tanto el numerador como el denominador tienen grado 1.

Si una función racional es impropia podemos dividir el numerador y el denominador y podemos escribir la función racional como suma de un polinomio y una función racional propia:

Funciones racionales(1), funciones racionales lineales: Si una función racional es impropia podemos dividir el numerador y el denominador y podemos escribir la función  racional como suma de un polinomio y una función racional propia | matematicasVisuales

El polinomio controla el comportamiento de la función cuando x se hace grande en valor absoluto. Esto es debido a que una función racional propia contribuye muy poco a los valores de la función para valores grandes de |x|.

En el caso de las funciones racionales lineales, al dividir obtendremos un cociente que es un número:

Funciones racionales(1), funciones racionales lineales: En el caso de las funciones racionales lineales, al dividir obtendremos un cociente que es un número | matematicasVisuales

En el siguiente mathlet podemos jugar con estos tres elementos de una función racional lineal: un número (el cociente, p, en verde, determina la asíntota horizontal), otro número en el numerador de la expresión racional propia (q, en azul, es también una recta horizontal) y una recta en denominador (en color naranja)

Podemos comprobar cómo el número p controla el comportamiento 'en el infinito' de la función y cómo afectan el numerador y el denominador a la forma de la gráfica de la función.

Todas las funciones racionales lineales "pueden escribirse de un modo análogo, separando su 'parte entera'. En consecuencia, las gráficas de todas las funciones racionales lineales [no degeneradas] son hipérbolas (trasladadas diferentes distancias a lo largo de los ejes de coordenadas y contraídas o expandidas a lo largo del eje de ordenadas)". ["Functions and Graphs", pág. 64]

En este caso, la asíntota horizontal es:

Funciones racionales(1), funciones racionales lineales: asíntota horizontal | matematicasVisuales

Por ejemplo:

Podemos escribir el caso degenerado (con un agujero):

Funciones racionales(1), funciones racionales lineales:  un caso degenerado, con un agujero | matematicasVisuales
Funciones racionales(1), funciones racionales lineales: un caso degenerado, con un agujero | matematicasVisuales

El próximo mes, en Enero, veremos las funciones racionales que tienen un polinomio de grado 2 en el denominador.

REFERENCIAS

G.E. Shilov, Calculus of Rational Functions, Mir Publishers, Moscow.
I.M. Gelfand, E.G. Glagoleva, E.E. Shnol, Functions and Graphs, Dover Publications, Inc., Mineola, New York.

MÁS ENLACES

Funciones racionales (3): Asíntota oblicua
Para valores grandes en valor absoluto de la variable x algunas funciones se comportan como una recta oblicua. A esta recta la llamamos asíntota oblicua de la función.
Funciones racionales (4): Comportamiento asintótico
Podemos añadir un polinomio a una función racional propia. El comportamiento asintótico de esta función racional será muy parecido al del polinomio.
Funciones polinómicas (1): funciones afines
Dos puntos determinan una línea recta. Como función son las funciones afines. Estudiaremos la pendiente de la recta y como podemos obtener la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Estudiaremos el corte con el eje de abcisas.
Funciones polinómicas (2): funciones cuadráticas
Las funciones cuadráticas son polinomios de grado 2. Sus gráficas son parábolas. Para encontrar los puntos de corte con el eje de abcisas tenemos que resolver una ecuación. El vértice de la parábola es un máximo o mínimo de la función.
Potencias con exponentes naturales (y exponentes racionales positivos)
Potencias con exponente natural son funciones importantes pues son la base de los polinomios. Sus funciones inversas son las raíces que son funciones potencia con exponente racional positivo.
Funciones polinómicas (3): funciones cúbicas
Las funciones cúbicas son polinomios de grado 3. Una función cúbica real siempre corta al eje de abcisas por lo menos una vez.
Polinomios de Taylor (4): función racional 1
La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
Polinomios de Taylor (5): función racional 2
La función tiene una singularidad en -1. Los polinomios de Taylor en torno al origen aproximan la función entre -1 y 1.
Polinomios de Taylor (6): función racional con 2 singularidades
La función tiene dos singularidades reales, en -1 y en 1. Los polinomios de Taylor aproximan la función entre en un intervalo simétrico respecto al centro del desarrollo. Su radio es la distancia a la singulardidad más próxima.
Polinomios de Taylor (7): función racional sin singularidades reales
La función es continua y no tiene singularidades reales. Sin embargo, los polinomios de Taylor sólo aproximan la función en un intervalo. Entenderemos un poco mejor este comportamiento estudiando una función compleja.
Polinomios de Taylor: función racional compleja con 2 singularidades
Podemos estudiar la aproximación a esta función por el polinomio de Taylor y su convergencia en el círculo de convergencia.
Funciones polinómicas complejas (1): Potencias de exponente natural
Las potencias de exponente natural tienen un cero de multiplicidad n.
Funciones polinómicas complejas (2): Polinomio de grado 2
Un polinomio de grado 2 tiene dos raíces o ceros. En esta representación podemos ver los óvalos de Cassini y la lemniscata.
Funciones polinómicas complejas (3): Polinomio de grado 3
Un polinomio de grado 3 tiene tres ceros o raíces. Podemos modificar los tres ceros de este tipo de polinomios.
Funciones polinómicas complejas (4): Polinomio de grado n
Un polinomio de grado n tiene n ceros o raíces.
Funciones polinómicas y derivada (1): Funciones afines
La derivada de una función lineal es la función constante cuyo valor es la pendiente de la recta.
Funciones polinómicas y derivada (2): Funciones cuadráticas
La derivada de una función cuadrática es una función afín, es decir, es una línea recta.
Funciones polinómicas y derivada (3): Funciones cúbicas
La derivada de una función cúbica es una función cuadráticas, es decir, una parábola
Integral definida
La integral formaliza el concepto intuitivo de área. Para su definición aproximamos el área usando rectángulos.