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Si partimos de una función positiva y decreciente

Convergencia de Series, el test de la integral | matematicasVisuales

Podemos definir

Convergencia de Series, el test de la integral | matematicasVisuales

Y obtenemos una serie de términos positivos

Convergencia de Series, el test de la integral | matematicasVisuales
Convergencia de Series, el test de la integral: una función positiva decreciente y su correspondiente serie | matematicasVisuales

Convergencia de Series, el test de la integral: La integral de la función | matematicasVisuales

La suma de la serie es la suma de las áreas de un conjunto infinito de rectángulos (con base 1).

Convergencia de Series, el test de la integral: la serie como suma de rectángulos | matematicasVisuales

En la imagen vemos que esta suma es mayor (podría ser igual) que la integral.

En general, se verifica esta desigualdad:

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En el mathlet podemos jugar con un caso particular

Convergencia de Series, el test de la integral | matematicasVisuales

Arrastrando los puntos verdes podemos modificar lambda y p y obtenemos nuevas funciones de ese tipo.

En estos casos, las series que se obtienen son semejantes a p-series (trasladadas y expandidas o contraídas).

Algunas de estas integrales divergen y, por lo tanto, las series correspondientes divergen también:

Convergencia de Series, el test de la integral | matematicasVisuales
Convergencia de Series, el test de la integral: algunas series son divergentes | matematicasVisuales

Este es el caso cuando en una p-serie el grado p es igual o mayor que 1. La integral y la serie divergen cuando 'cruzamos la línea' arrastrando los puntos verdes:

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En otros casos, la integral y la serie convergen:

Convergencia de Series, el test de la integral: una serie que converge, cotas inferior y superior | matematicasVisuales

En el mathlet, pulsando el botón de la animación podemos ver que la serie es la integral más algo que es menor que el primer término, ak.

Entonces podemos afirmar que

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Y además obtenemos una cota inferior y otra superior de la serie.

Convergencia de Series, el test de la integral | matematicasVisuales

Por ejemplo, consideremos la integral

Convergencia de Series, el test de la integral: un ejemplo de serie que converge, cotas inferior y superior | matematicasVisuales
Convergencia de Series, el test de la integral: un ejemplo de serie que converge, cotas inferior y superior | matematicasVisuales

Entonces

La serie converge y las cotas inferior y superior son:

REFERENCIAS

Estos resultados son clásicos pero esta página está directamente inspirada en la lección de Jim Fowler sobre el test de la integral. Es parte del curso de Coursera Calculus Two: Sequences and Series que Jim Fowler está enseñando, transmitiendo todo su entusiasmo (Octubre 2013).

MÁS ENLACES

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Algunas series geométricas se pueden sumar fácilmente. Podemos ver un ejemplo muy intuitivo cuando la razón es 1/4
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Polinomios de Taylor (1): función exponencial
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Funciones polinómicas complejas (2): Polinomio de grado 2
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Un polinomio de grado 3 tiene tres ceros o raíces. Podemos modificar los tres ceros de este tipo de polinomios.
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Un polinomio de grado n tiene n ceros o raíces.
Función exponencial compleja
La función exponencial compleja extiende la función exponencial real al plano complejo.
La función coseno compleja
La función coseno compleja extiende la función real al plano complejo. Es una función periódica que comparte varias propiedades con la función real.
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La función coseno compleja tiene un desarrollo de Taylor que converge en todo el plano complejo.
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Podemos estudiar la aproximación a esta función por el polinomio de Taylor y su convergencia en el círculo de convergencia.