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En esta página podemos jugar con una animación interactiva sobre la demostración de John Conway del teorema de Morley.

Teorema de Morley
Los tres puntos de intersección de las trisectrices adyacentes de los ángulos de un triángulo cualquiera son los vértices de un triángulo equilátero (Triángulo de Morley).

Este teorema fue un sorprendente descubrimiento que hizo Frank Morley (hacia 1899).

Conway escribe: "El teorema de Morley es reconocido como un teorema que es realmente difícil de probar. Es muy sencillo de formular, pero muy difícil de probar"(John Conway).

Se considera que la demostración de John Conway es la más sencilla y es un buen ejemplo de "demostración de atrás para adelante".

"Podemos probar el teorema de Morley de un modo sencillo como sigue. Primero, tienen que decirme la medida de los tres ángulos A, B, C, de su triángulo original. Recordamos que tienen que sumar 180 grados. Este es el plan: Voy a empezar con un triángulo equilátero de algún tamaño

Demostración de Conway del teorema de Morley: empezamos con un triángulo equilátero de algún tamaño | matematicasVisuales

y vamos a construir otros seis triángulos alrededor de él y los vamos a pegar juntos para crear un triángulo cuyos ángulos son A, B y C, justamente igual que los suyos; por lo tanto, para algún tamaño adecuado del triángulo equilátero, mi construcción reproducirá exactamente su triángulo original; además el método de construcción probará que si trisecamos los ángulos de su triángulo encontraremos un triángulo equilátero en el medio. Estas son las seis piezas triangulares que construiremos alrededor del triángulo equilátero" (John Conway)

Demostración de Conway del teorema de Morley: Estas son las seis piezas triangulares que construiremos alrededor del triángulo equilátero | matematicasVisuales

"Para entender la demostración correctamente, tenemos que pensar los seis nuevos triángulos como piezas que vamos a definir, empezando por el triángulo equilátero, con la ayuda de los valores A, B y C iniciales. La figura anterior es nuestro destino, no el punto de partida.

Construiremos los seis nuevos triángulos primero definiendo su forma y después definiremos su tamaño. Para definir las formas de estos seis triángulos tenemos que fijar sus ángulos." (John Conway)

Los ángulos blancos miden 60 grados. Podemos comprobar que los ángulos de cada triángulo suman 180 grados.

Estas son las formas de los primeros tres triángulos:

Demostración de Conway del teorema de Morley: Podemos comprobar que los ángulos de cada triángulo suman 180 grados | matematicasVisuales

Para fijar los tamaños de estos tres triángulos hacemos que la longitud de uno de los lados sea igual a la del triángulo equilátero.

Demostración de Conway del teorema de Morley: Determinamos el tamaño de los tres primeros triángulos | matematicasVisuales

Podemos pegar estos tres triángulos al triángulo equilátero:

Demostración de Conway del teorema de Morley: Podemos pegar estos tres triángulos al triángulo equilátero | matematicasVisuales

Para fijar las tamaños de los tres triángulos obtusos introducimos dos segmentos iguales desde el vértice opuesto al lado largo de cada triángulo ("un poco al estilo como si trazáramos perpendiculares", escribe Conway). Estas líneas forman triángulos isósceles.

Demostración de Conway del teorema de Morley: introducimos dos segmentos iguales desde el vértice opuesto al lado largo de cada triángulo ('un poco al estilo como si trazáramos perpendiculares', escribe Conway) | matematicasVisuales

Podemos fijar el tamaño de estos triángulos haciendo que estos segmentos tengan la misma longitud que el lado del triángulo equilátero.

Demostración de Conway del teorema de Morley: Fijando el tamaño | matematicasVisuales

Pero ¿cómo se dibujan estos segmentos? Mirando las figuras podemos entender los ángulos que se forman.

Demostración de Conway del teorema de Morley: triángulos isósceles | matematicasVisuales

Desdoblando esos tres triángulos obtenemos seis triángulos. Por parejas son iguales a uno de los tres triángulos que construímos primero. Es decir, de los nueve triángulos que tenemos alrededor del equilátero, los tres que comparten el color son iguales (o quizás imágenes especulares). Nos fijamos que tienen tres ángulos iguales y también tienen igual un lado (que es igual al lado del triángulo equilátero).

Demostración de Conway del teorema de Morley: triángulos con el mismo color son iguales | matematicasVisuales

Podemos comprobar que las medidas de los ángulos son correctas y que los ángulos alrededor de cada vértice interno suman 360 grados.

Demostración de Conway del teorema de Morley: Comprobando los ángulos | matematicasVisuales
Demostración de Conway del teorema de Morley: Comprobando los ángulos | matematicasVisuales

"Entonces, pegando las siete piezas juntas he conseguido un triángulo con los ángulos que usted me ha proporcionado, para el que el teorema de Morley es cierto.

Demostración de Conway del teorema de Morley: Pegando los siete triángulos | matematicasVisuales

Es decir, el teorema de Morley es verdad para su triángulo y para cualquier triángulo que pudiéramos haber escogido." (John Conway)

Demostración de Conway del teorema de Morley: El teorema es cierto | matematicasVisuales
Demostración de Conway del teorema de Morley: El teorema es cierto para cualquier triángulo | matematicasVisuales

REFERENCIAS

Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer.
Coxeter, H. S. M. Introduction to Geometry, 2nd ed. New York: John Wiley and sons, 1969.

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