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Partimos de un triángulo y su circunferencia circunscrita. Consideramos un punto P en la circunferencia circunscrita del triángulo. Los pies de las perpendiculares desde P a los tres lados del triángulo están alineados (recta de Simson o de Simson-Wallace)

Rectas de Simson-Wallace
A partir de cada punto de la circunferencia circunscrita a un triángulo se obtiene una recta llamada recta de Simson-Wallace o recta de Simson.

Vamos a demostrar esta propiedad usando esta notación:

Recta de Simson, recta de Wallace o recta de Simson-Wallace: una demostración  | matematicasVisuales

Hemos tomado el punto P en el arco AC que no contiene a B. Otros casos se obtienen renombrando A, B, C.

Si podemos probar que estos dos ángulos son iguales entonces los puntos A', B', C' serán colineales.

Recta de Simson, recta de Wallace o recta de Simson-Wallace: una demostración  | matematicasVisuales
Recta de Simson, recta de Wallace o recta de Simson-Wallace: una demostración  | matematicasVisuales

Usaremos una consecuencia de la propiedad de la circunferencia (Euclides, III.21 o III.22) que dice que la suma de los ángulos opuestos de un cuadrilátero convexo inscrito en una circunferencia es igual a dos ángulos rectos.

Ángulos central e inscrito en una circunferencia
Teorema del Ängulo central: El ángulo central es el doble del ángulo en la circunferencia.

Recta de Simson, recta de Wallace o recta de Simson-Wallace: una demostración  | matematicasVisuales

Estos dos triángulos rectángulos son semejantes, por lo tanto:

Recta de Simson, recta de Wallace o recta de Simson-Wallace: una demostración  | matematicasVisuales

Los puntos A, B', P, C' están en una circunferencia:

Recta de Simson, recta de Wallace o recta de Simson-Wallace: una demostración  | matematicasVisuales

Recta de Simson, recta de Wallace o recta de Simson-Wallace: una demostración  | matematicasVisuales

Y los puntos B',A',C,P también están en una circunferencia:

Recta de Simson, recta de Wallace o recta de Simson-Wallace: una demostración  | matematicasVisuales

Recta de Simson, recta de Wallace o recta de Simson-Wallace: una demostración  | matematicasVisuales

Por lo tanto, los puntos A', B', C' son colineales. La recta que forman se llama recta de Simson o recta de Simson-Wallace de P.

REFERENCIAS

Coxeter, H. S. M. Introduction to Geometry, 2nd ed. New York: John Wiley and sons, 1969.
Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer.

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