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Ya hemos visto que Jacob Steiner (1796-1863) probó que la envolvente de las rectas de Wallace-Simson de un triángulo es una curva que tiene tres cúspides que se llama Deltoide de Steiner.

Deltoide de Steiner
La envolvente de las rectas de Simson-Wallace de un triángulo es una curva con tres cúspides que se llama Deltoide de Steiner.

Por otra parte, un deltoide es una curva específica de la familia de las curvas hipocicloides. Una hipocicloide es una curva plana generada por la traza de un punto fijo en una circunferencia pequeña que rueda sin deslizarse por dentro de una circunferencia más grande. El deltoide se genenera cuando el radio de la circunferencia que gira es un tercio del radio de la circunferencia exterior.

En esta página exploramos el hecho de que el deltoide de Steiner es hipocicloide, es decir que está generada por una circunferencia rodando dentro de otra.

Ambas circunferencias están relacionadas con la circunferencia de Feuerbach o circunferencia de los nueve puntos (es la circunferencia verde en la imagen). El radio de la circunferencia de los nueve puntos es la mitad del radio de la circunferencia circunscrita al triángulo. La circunferencia exterior tiene el mismo centro que la circunferncia de los nueve puntos y su radio es tres veces el radio de la circunferencia de los nueve puntos.

La circunferencia pequeña que rueda tiene el mismo radio que la circunferencia de Feuerbach y ambas son tangentes.

El Deltoide de Steiner es hipocicloide: | matematicasVisuales

Cuando la circunferencia pequeña rueda sin deslizarse genera el deltoide de Steiner.

El Deltoide de Steiner es hipocicloide: Cuando la circunferencia pequeña rueda sin deslizarse genera el deltoide de Steiner | matematicasVisuales

El deltoide de Steiner es tangente a la circunferencia de los nueve puntos.

El Deltoide de Steiner es hipocicloide: El deltoide de Steiner es tangente a la circunferencia de los nueve puntos | matematicasVisuales

Las tres tangentes al deltoide en las tres cúspides del deltoide concurren en un punto: el centro de la circunferencia de los nueve puntos.

El Deltoide de Steiner es hipocicloide: las tres tangentes en las cúspides del deltoide pasan por el centro de la circunferencia de los nueve puntos o de Feuerbach | matematicasVisuales

REFERENCIAS

Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer.
Coxeter, H. S. M. Introduction to Geometry, 2nd ed. New York: John Wiley and sons, 1969.

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