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Sabemos muy poco sobre Pitágoras. Probablemente nació en la isla de Samos alrededor de 580 a.C. Fundó una escuela en Crotona, una colonia griega en lo que ahora es el sur de Italia.

El teorema de Pitágoras es uno de los resultados más básicos e importantes de las Matemáticas. Para saber más y jugar con una demostración dinámica del teorema de Pitágoras inspirada en la de Euclides, puedes usar el siguiente enlace:

Teorema de Pitágoras: Demostración inspirada en Euclides
Demostración dinámica e interactiva del teorema de Pitágoras, inspirada en la de Euclides.

En esta página vemos el teorema de Pitágoras en un mosaico. Este mosaico se puede ver en suelos, por ejemplo:

Teorema de Pitágoras en un mosaico | matematicasVisuales
Teorema de Pitágoras en un mosaico  | matematicasvisuales

Este mosaico o teselación se hace usando dos tipos de cuadrados (azules y verdes). Estos cuadrados corresponden a los cuadrados de los dos catetos de un triángulo rectángulo. En la aplicación, al mover el punto rojo se cambian esos cuadrados y, por lo tanto, el triángulo rectángulo que está en la base del teorema.

Podemos dibujar una teselación con cuadrados al estilo de un tablero de ajedrez. Estos cuadrados son los cuadrados de la hipotenusa.

Se puede señalar el triángulo rectángulo:

Teorema de Pitágoras en un mosaico  | matematicasvisuales

"Está claro intuitivamente que las dos teselaciones (la de los cuadrados grandes y la formada por la unión de los dos cuadrados más pequeños) tienen que tener la misma área. Desde luego, esta afirmación es simplemente el teorema de Pitágoras y se ha conjeturado que fue descubierto contemplando diseños de mosaicos.(...). Desde un punto de vista axiomático, esta demostración es particularmente económica ya que muestra que los dos cuadrados pequeños pueden diseccionarse en un número acotado de piezas que pueden reorganizarse de modo que llenen el cuadrado grande." (Magnus, p. 53)



Un caso particular es especialmente sencillo. Se trata del caso de un triángulo rectángulo isósceles (la diagonal de un cuadrado biseca el cuadrado en dos triángulo rectángulos congruentes). En este caso, los dos cuadrados de los catetos son iguales. El cuadrado sobre la hipotenusa está formado por cuatro triángulos rectángulos isósceles congruentes.

Teorema de Pitágoras en un mosaico  | matematicasvisuales


Usando una teselación diferente podemos ver otra prueba por disección del teorema de Pitágoras que fue hecha por Henry Perigall (1801-1898).

Teorema de Pitágoras en un mosaico  | matematicasvisuales

La primera vez que vi este tipo de piezas era en forma de rompecabezas y estaba (si no recuerdo mal, pues hace muchos años) en una caja de "Juegos Reunidos". Habia cuatro piezas iguales que eran los cuadriláteros irregulares. Se trataba de forman un cuadrado y después formar dos cuadrados. Aquí había truco pero viendo la demostración de Perigall nos queda mucho más claro. Como rompecabezas es sorprendente y una buena manera de darle vueltas al teorema de Pitágoras.



En esta variación, las cuatro piezas son diferentes.

Teorema de Pitágoras en un mosaico  | matematicasvisuales

REFERENCIAS

John Stillwell, "Mathematics and its History", Springer-Verlag, New York, 2002.
Euclides, Los Elementos.
W. Magnus, "Noneuclidean Tesselations and Their Groups", Academic Press, New York-London, 1973.
Alexander Bogomolny, Cut the Knot. Pythagorean theorem.
H.S.M. Coxeter, 'Introduction to Geometry', John Wiley and Sons, Second edition, pp. 8-9.
Martin Gardner, 'Sixth Book of Mathematical Diversions from "Scientific American"'. Scribner, 1975.
Eli Maor, "The Pythagorean theorem: a 4000-year history", Princeton University Press, United States of America, 2007.
Bill Casselman, On the dissecting table. Henry Perigall, in +Plus Magazine (plus.math.org).
Greg N. Frederikson, "Dissections, Plane and Fancy", Cambridge University Press, United States of America, 1997.
F.J. Swetz and T.I. Kao, "Was Pythagoras chinese?", The Pennsylvania State University Press, United States of America, 1977.

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