Sabemos muy poco sobre Pitágoras. Probablemente nació en la isla de Samos alrededor de 580 a.C. Fundó una escuela en Crotona, una colonia griega en lo que ahora es el sur de Italia.
El teorema de Pitágoras es uno de los resultados más básicos e importantes de las Matemáticas. Para saber más y jugar con una demostración
dinámica del teorema de Pitágoras inspirada en la de Euclides, puedes usar el siguiente enlace:
Demostración dinámica e interactiva del teorema de Pitágoras, inspirada en la de Euclides.
En esta página vemos el teorema de Pitágoras en un mosaico. Este mosaico se puede ver en suelos, por ejemplo:
Este mosaico o teselación se hace usando dos tipos de cuadrados (azules y verdes). Estos cuadrados corresponden a los cuadrados de los dos
catetos de un triángulo rectángulo. En la aplicación, al mover el punto rojo se cambian esos cuadrados y, por lo tanto, el triángulo rectángulo
que está en la base del teorema.
Podemos dibujar una teselación con cuadrados al estilo de un tablero de ajedrez. Estos cuadrados son los cuadrados de la hipotenusa.
Se puede señalar el triángulo rectángulo:
"Está claro intuitivamente que las dos teselaciones (la de los cuadrados grandes y la formada por la unión de los dos cuadrados más pequeños)
tienen que tener la misma área.
Desde luego, esta afirmación es simplemente el teorema de Pitágoras y se ha conjeturado que fue descubierto contemplando diseños de
mosaicos.(...). Desde un punto de vista axiomático, esta demostración es particularmente económica ya que muestra que los dos cuadrados
pequeños pueden diseccionarse en un número acotado de piezas que pueden reorganizarse de modo que llenen el cuadrado grande." (Magnus, p. 53)
Un caso particular es especialmente sencillo. Se trata del caso de un triángulo rectángulo isósceles (la diagonal de un cuadrado biseca el
cuadrado en dos triángulo rectángulos congruentes). En este caso, los dos cuadrados de los catetos son iguales.
El cuadrado sobre la hipotenusa está formado por cuatro triángulos rectángulos isósceles congruentes.
Usando una teselación diferente podemos ver otra prueba por disección del teorema de Pitágoras que fue hecha por Henry Perigall (1801-1898).
La primera vez que vi este tipo de piezas era en forma de rompecabezas y estaba (si no recuerdo mal, pues hace muchos años)
en una caja de "Juegos Reunidos". Habia cuatro
piezas iguales que eran los cuadriláteros irregulares. Se trataba de forman un cuadrado y después formar dos cuadrados. Aquí había truco pero
viendo la demostración de Perigall nos queda mucho más claro. Como rompecabezas es sorprendente y una buena manera de darle vueltas al teorema
de Pitágoras.
En esta variación, las cuatro piezas son diferentes.
REFERENCIAS
John Stillwell, "Mathematics and its History", Springer-Verlag, New York, 2002.
Euclides, Los Elementos.
W. Magnus, "Noneuclidean Tesselations and Their Groups", Academic Press, New York-London, 1973.
Calculamos el área de las secciones de una esfera usando el Teorema de Pitágoras. También estudiamos la relación con la media geométrica o el teorema de la altura de triángulos rectángulos.
El papel que solemos utilizar tiene un tamaño estándar. Estos rectángulos de papel, que llamamos DIN A, son semejantes y cada tamaño se obtiene del anterior partiéndolo por la mitad.
En su artículo 'Two Surprising Theorems on Cavallieri Congruence' (Dos teoremas sorprendentes sobre la congruencia de Cavalieri), Howard Eves describe un tetraedro muy interesante. En esta página calculamos las áreas de sus secciones y su volumen.
El tetraedro de Howard Eves es congruente Cavalieri con una esfera dada. Podemos ver que las secciones correspondientes tienen áreas iguales. Por lo tanto, el volumen de la esfera es el mismo que el volumen del tetraedro. Sabemos calcular el volumen del tetraedro luego ya sabemos el volumen de la esfera (usando una congruencia sorprendente).
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