Kepler escribió un libro en 1615 sobre áreas y volúmenes de superficies y sólidos: Nova stereometria doliorum vinariorum (Nueva Geometría sólida de los barriles de vino). En este libro, Kepler pensó en una esfera como compuesta por una infinidad de pirámides o conos infinitesimales cada uno de ellos con su vértice en el centro de la esfera y cuyas bases formaban la superficie esférica.

El volumen de una pirámide o un cono es un tercio del producto del área de la base por la altura (en este caso la altura es el radio de la esfera). Entonces Kepler deduce la relación entre el volumen de la esfera y su superficie:

Entonces, si conocemos el volumen de la esfera (Arquímedes ya lo conocía hace más de 2200 años):

podemos deducir el área de la superficie esférica:

O viceversa, si conocemos la superficie podemos deducir el volumen de la esfera.

Este es un ejemplo de un teorema sobre la esfera en el libro original de Kepler 'Nova stereometria doliorum vinariorum'. Podemos leer esta página, y el libro entero, en The Posner Memorial Collection,Carnegie Mellon University Libraries.

Una traducción puede ser: El área de una esfera es cuatro veces el área de un círculo máximo en la esfera.

ENLACES

Kepler: El área de un círculo

Kepler usó una aproximación infinitesimal intuitiva para calcular el área de un círculo.

Kepler: El volumen de un barril de vino

Kepler fue uno de los matemáticos que contribuyeron al origen del cálculo integral. Uso técnicas infinitesimales para calcular áreas y volúmenes.

Kepler: Las proporciones óptimas de un barril de vino

Estudiando el volumen de un barril, Kepler se planteó un problema de máximo en 1615.

Cavalieri: El volumen de una esfera

Cavalieri enunció el teorema que conocemos como Principio de Cavalieri. Usando el Principio de Cavalieri podemos calcular el volumen de una esfera

Arquímedes y el área de la elipse: una aproximación intuitiva

En su libro 'Sobre Conoides y Esferoides', Arquímedes calculó el área de la elipse. Podemos ver una aproximación intuitiva a las ideas de Arquímedes.

Arquímedes y el área de la elipse: demostración

En su libro 'Sobre Conoides y Esferoides', Arquímedes calculó el área de la elipse. Es un ejemplo de demostración rigurosa por doble reducción al absurdo.