Tetraxis® es un puzle geométrico. Está formado por doce piezas iguales.
Unos imanes mantienen las piezas juntas y facilitan el montaje. Es un puzle sencillo de montar y muy bonito.
Es un placer intentar resolverlo y también es fácil de construir con cartulina y algunos imanes.
Tetraxis® es un diseño de Jane and John Kostick.
Podemos ver más trabajos suyos (en metal o madera) en el sitio web de Jane and John Kostick.
Tetraxis® es una marca registrada de KO Sticks LLC.
En esta página veremos algunas propiedades interesantes de este puzle. En particular, estudiaremos su relación con el cubo y
el dodecaedro rómbico. Al montar el rompecabezas queda un hueco en el interior, rodeado por las doce piezas, que es un dodecaedro rómbico.
Nos podremos descargar unas plantillas para construirlo en
cartulina. También se mostrará una construcción hecha con impresora 3D.
El nombre Tetraxis® significa cuatro ejes.
El prefijo griego 'tetra' significa 'cuatro'(como en 'tetraedro', 'cuatro caras').
Es debido a que las doce piezas de este puzle están alineadas según cuatro ejes. Hay tres piezas de cada color que se pueden alienar
siguiendo esas direcciones.
Estos cuatro ejes están relacionados con el cubo. Las doce piezas se alinean en las direciones de las cuatro diagonales interiores
de un cubo.
Encontramos también estas cuatro diagonales estudiando un poliedro descubierto por Johannes Kepler: el dodecaedro rómbico.
Un dodecaedro rómbico es un poliedro que tiene doce caras que son rombos. Se puede ver como un cubo con seis pirámides. Tiene vértices de dos
tipos. En uno de ellos se unen cuatro aristas. Hay seis de este tipo que se corresponden con las seis caras del cubo. En el otro tipo de
vértice se unen tres aristas. Hay ocho de este tipo y se corresponden con los ocho vértices del cubo.
El dodecaedro rómbico tiene propiedades muy interesantes. Tesela el espacio y está relacionado con cómo las abejas construyen sus
colmenas.
Para comprender mejor Tetraxis® y su relación con el dodecaedro rómbico es interesante conocer qué rombo
se necesita para construir este poliedro. En particular, vamos a ver la razón entre sus dos diagonales. Lo vamos a hacer
partiendo de la idea de que el dodecaedro rómbico es un cubo al que se le han añadido unas pirámides.
Calcularemos la diagonal D de uno de estos rombos:
Estos rombos están relacionados con las proporciones del tamaño de papel estándar DinA.
El papel que solemos utilizar tiene un tamaño estándar. Estos rectángulos de papel, que llamamos DIN A, son semejantes y cada tamaño se obtiene del anterior partiéndolo por la mitad.
PARA SABER MÁS SOBRE EL DODECAEDRO RÓMBICO
La Humanidad ha estdo siempre fascinada por cómo las abejas construyen sus panales. Kepler relacionó la forma de los panales con un poliedro que llamamos dodecaedro rómbico.
Queremos cerrar un prisma hexagonal como lo hacen las abejas, usando tres rombos iguales. ¿Qué forma deben tener estos tres rombos para cerrar el prisma con la menor superficie?
Añadiendo seis pirámides a un cubo podemos construir nuevos poliedros que tienen veinticuatro caras triángulares. Para unas determinadas pirámides obtenemos un dodecaedro rómbico que tiene doce caras rómbicas.
Podemos construir un dodecaedro rómbico añadiendo seis pirámides a un cubo. Este hecho tiene interesantes consecuencias.
Podemos llenar el espacio con dodecaedros rómbicos sin dejar huecos.
Una cadena de seis pirámides puede plegarse hacia dentro y formar un cubo y puede plegarse hacia fuera y colocarse sobre otro cubo y formar un dodecaedro rómbico.
Kepler relaciona el dodecaedro rómbico con el apilamiento de balas de cañón. Si se comprime un determinado apilamiento, las balas se deforman en este poliedro.
El ángulo obtuso de las caras rómbicas del dodecaedro rómbico se conoce como ángulo de Maraldi. Solo se necesita un poco de trigonometría básica parar calcularlo.
Estudiando el empaquetamiento de esferas obtenemos el dodecaedro rómbico y el dodecaedro trapezo-rómbico. Su dual es el cuboctaedro girado.
Con motivo del Día internacional de las Matemáticas 2020, que se celebra el 14 de Abril, hemos preparado una exposición homenaje a Kepler en relación con el dodecaedro rómbico.
Material para la sesión del TTM (Zaragoza, el 18 de Octubre de 2019). El objetivo principal es disfrutan construyendo poliedros, en esta ocasión construiremos una cajita que es un dodecaedro rómbico. Estudiaremos la relación de este poliedro con el cubo, el octaedro y el cuboctaedro.
Material para la sesión sobre construcción de poliedros (Zaragoza el 9 de Mayo de 2014). Empezaremos con el tetraedro, el cubo y el octaedro y presentaremos el cuboctaedro y el dodecaedro rómbico. Relacionaremos este poliedro con los panales de abeja. Construimos una cajita que es un dodecaedro rómbico.
He construido este modelo formado por varios dodecaedros rómbicos para comprender mejor la geometría del Tetraxis®:
Esta estructura está inspirada en este
precioso vídeo.
También podemos ver las cuatro direcciones en las que están alineadas las doce piezas del rompecabezas sobre un dodecaedro rómbico:
Jugar con este puzle es un placer, no es difícil de resolver y se puede construir fácilmente.
Podemos construir un Tetraxis® usando cartulina. Unos imanes en el interior mantendrán las piezas unidas.
Imanes de neodimio son perfectos pero pueden ser muy peligrosos para los niños (especialmente si se tragan). Una vez construido el
rompecabezas quedan en el interior.
Pulsando sobre la imagen puedes descargar la plantilla, imprimirlo en cartulina, cortarlo, plegarlo y pegarlo para obtener las piezas del
Tetraxis®.
Las circunferencias indican la posición de los imanes. Se pueden pegar cuatro imanes por pieza (notar que deben estar con la polaridad
adecuada). También se pueden poner en cada pieza dos imanes y dos arandelas o monedas.
Pulsa sobre la imagen para descargar la plantilla
Con el siguiente modelo se construye un Tetraxis® más pequeño. A mí me ha gustado más el grande.
Pulsa sobre la imagen para descargar la plantilla
Este es el resultado. Un rompecabezas excelente, sencillo y muy bonito.
Hay una manera diferente de dibujar el desarrollo plano de las piezas de Tetraxis®.
La siguiente plantilla está inspirada en
un dibujo original de Jane Kostick:
Pulsa sobre la imagen para descargar la plantilla
Esta manera de presentar el desarrollo es muy bonita pues se ve claramente que la superficie de cada pieza, al desplegarla, es un rombo.
Este rombo grande está formado por nueve rombos pequeños. Todos estos rombos son semejantes y la razón entre sus dos diagonales es
la raíz cuadrada de dos. Como hemos visto, con rombos como estos se construye el dodecaedro rómbico.
Los cuatro imanes están en los centros de cuatro de estos rombos pequeños. Estos cuatro puntos son los vértices de un rectángulo que enmarca
el rombo central.
Pulsa sobre la imagen para descargar la plantilla
Más sobre la geometría del Tetraxis en el sitio web de Kosticks (en inglés).
Otra manera de construir un Tetraxis® es con una impresora 3D.
En la siguiente foto podemos ver cómo los cuatro colores de unen en algunos lugares.
Hay seis de estas combinaciones de cuatro piezas. Están relacionadas con las seis caras de un cubo o con los seis vértices de un dodecaedro
rómbico en los que se unen cuatro aristas.
Estas combinaciones de tres piezas son como pajaritas. Hay doce, una por cada pieza del puzle. Cada una de ellas está relacionada con
una cara del dodecaedro rómbico o una arista del cubo.
Hay ocho combinaciones de tres colores como los de la siguiente foto. Cada una está relacionada con los vértices de un cubo o con los
ocho vértices del dodecaedro rómbico en los que se unen tres aristas.
Más sobre estas propiedades combinatorias en el sitio web de Kosticks.
Las doce piezas del rompecabezas Tetraxis® montadas dejan un hueco en su interior que es un dodecaedro rómbico.
Este es un video muy bonito en el que se muestra esta relación entre el puzle y el dodecaedro rómbico: Dissecting a Rhombic Dodecahedron with Miles.
REFERENCIAS
Johannes Kepler - 'Strena seu De Nive Sexangula' ('Regalo de Año nuevo. Sobre el copo de nieve hexagonal'. Traducción y notas de
Ana García Azcárate y Ángel Requena Fraile. Editorial Aviraneta, 2011. Este libro se puede descargar gratuitamente gracias a la generosidad
de sus autores a través del excelente sitio web de Ángel Requena 'Turismo Matemático' en su sección
Turismo Matemático. Libros descargables.
Johannes Kepler - 'De Nive Sexangula' (Tenemos una versión bilingüe en latin e inglés en
'The Six Cornered Snowflake: a New Year's gif' - Paul Dry Books, Philadelphia, Pennsylvania, 2010.
Con notas y comentarios muy interesantes de Owen Gingerich y Guillermo Bleichmar. Las ilustraciones las realizó la matemática española Capi Corrales Rodrigáñez.
Hugo Steinhaus - Mathematical Snapshots - Oxford University Press - Third Edition. Una traducción española fue hecha por Luis Bou García y fue publicada por la Editorial
Salvat con el título 'Instantáneas Matemáticas' en 1986.
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
MÁS ENLACES
La Humanidad ha estdo siempre fascinada por cómo las abejas construyen sus panales. Kepler relacionó la forma de los panales con un poliedro que llamamos dodecaedro rómbico.
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El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices.
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices. También se obtiene a partir de un octaedro truncando sus vértices
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El poliedro compuesto por un cubo y un octaedro es un cuboctaedro estrellado. O lo que es lo mismo, el cuboctaedro es el sólido común al cubo y al octaedro en este poliedro.
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El volumen del octaedro es 4 veces el del tetraedro. El cálculo del volumen del octaedro es sencillo y así podemos obtener el volumen del tetraedro.
Achaflanando un cubo, truncando sus aristas, podemos obtener un poliedro semejante (pero no igual) al octaedro truncado. También podemos obtener un dodecaedro rómbico.
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