El dodecaedro rómbico y el cubo
Hemos visto que un dodecaedro rómbico se puede hacer con un cubo y seis pirámides. Entonces es sencillo calcular el volumen de este poliedro.
Podemos construir un dodecaedro rómbico añadiendo seis pirámides a un cubo. Este hecho tiene interesantes consecuencias.
También sabemos que tiene una propiedad muy interesante: es un poliedro que tesela el espacio.
Podemos llenar el espacio con dodecaedros rómbicos sin dejar huecos.
En esta página vamos a ver, desde otro punto de vista, la relación entre el cubo y el dodecaedro rómbico.
Podemos colocar seis pirámides en una cadena como ésta:
Cundy y Rollet escribieron: "La cadena de pirámides resultante puede plegarse hacia adentro para formar un cubo o puede plegarse hacia afuera, colocarse sobre otro cubo para formar el dodecaedro rómbico." (Cundy y Rollet, pag. 122.)
Plegando hacia adentro para formar un cubo:
Éste es un modelo que he hecho con cartulina:
Ya hemos estudiado que hay una relación entre el formato de papel Din A y el dodecaedro rómbico.
Añadiendo seis pirámides a un cubo podemos construir nuevos poliedros que tienen veinticuatro caras triángulares. Para unas determinadas pirámides obtenemos un dodecaedro rómbico que tiene doce caras rómbicas.
El papel que solemos utilizar tiene un tamaño estándar. Estos rectángulos de papel, que llamamos DIN A, son semejantes y cada tamaño se obtiene del anterior partiéndolo por la mitad.
Michael Grodzins ha explorado las posibilidades de plegar bipirámides usando el formato de papel Din A. Enlaza seis de esas bipirámides y construye un dodecaedro rómbico. Ha publicado varias páginas sobre esto, por ejemplo: Instructables: (Un)Folding the Mysteries of A4 Paper, Instructables: Mysteries of the (Di)pyramids and more.
Este es el modelo que he construido siguiendo sus instrucciones:
REFERENCIAS
Johannes Kepler - 'Strena seu De Nive Sexangula' ('Regalo de Año nuevo. Sobre el copo de nieve hexagonal', Traducción y notas de
Ana García Azcárate y Ángel Requena Fraile. Editorial Aviraneta, 2011. Este libro se puede descargar gratuitamente gracias a la generosidad
de sus autores a través del excelente sitio web de Ángel Requena 'Turismo Matemático' en su sección
Turismo Matemático. Libros descargables.
Johannes Kepler - 'De Nive Sexangula' (Tenemos una versión bilingüe en latin e inglés en
'The Six Cornered Snowflake: a New Year's gif' - Paul Dry Books, Philadelphia, Pennsylvania, 2010.
Con notas y comentarios muy interesantes de Owen Gingerich y Guillermo Bleichmar. Las ilustraciones las realizó la matemática española Capi Corrales Rodrigáñez.
D'Arcy Thompson - On Growth And Form - Cambridge University Press, 1942. Traducción española de Ana María Rubio Díez y
Mario X. Ruiz-González publicada por Cambridge University Press.
Hugo Steinhaus - Mathematical Snapshots - Oxford University Press - Third Edition. Una traducción española fue hecha por Luis Bou García y fue publicada por la Editorial
Salvat con el título 'Instantáneas Matemáticas' en 1986.
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.
W. Hope-Jones, 'The Rhombic Dodecahedron for the Young', The Mathematical Gazette, 1936.
Colin Maclaurin, 'On the Bases of the Cells wherein the Bees deposite their Honey', 1743.
D'Arcy Thompson, 'On Growth And Form' - Cambridge University Press, 1942.
L. Fejes Tóth, 'What the bees know and what they do not know', Bull. Amer. Math. Soc. 70 (1964). In
Project Euclid
D. Wallo, V. Duris, L. Rumanova, 'Geometry of bee cells rediscovered', The Electronic Journal of Mathematics and Technology.
Hermann Weil, 'Symmetry', pp. 83-92, Princeton University Press, 1952.
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Kepler relaciona el dodecaedro rómbico con el apilamiento de balas de cañón. Si se comprime un determinado apilamiento, las balas se deforman en este poliedro.
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El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices.
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices. También se obtiene a partir de un octaedro truncando sus vértices
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