Construir y tocar modelos de octaedro es una experiencia más interesante de lo que parece a primera vista.
Podemos usar cartulina y partir del desarrollo del octaedro (formado por ocho triángulos equiláteros):
También lo podemos hacer con papiroflexia (construcción muy básica de origami modular). Esta construcción nos muestra que
los seis vértices de este poliedro están en tres cuadrados que se encuentran en tres planos ortogonales:
Podemos usar doce tubos de plástico o aluminio:
Una figura de origami modular sencilla e instructiva está formada por los tres cuadrados en planos ortogonales
dos a dos que contienen las 12 aristas y los 6 vértices del
octaedro regular.
Su construcción es simple y aquí podemos ver cómo se hace:
El objetivo es, además, construir una cubo para poder poner dentro el octaedro que hemos hecho con papiroflexia.
Manipulando un octaedro enseguida vemos que está formado por dos pirámides de base cuadrada.
También vemos que la altura de estas dos pirámides es una diagonal de un cuadrado.
La diagonal de un cuadrado de lado 1 es:
Por lo tanto, el volumen de un octaedro de lado 1 es (la fórmula del volumen de una pirámide es un tercio del área de la base por la altura):
El volumen de un octaedro de arista a es:
Esta página contiene una animación interactiva desarrollada en Flash.
Si no puedes verla, en el siguiente enlace puedes ver un vídeo sobre ella:
Añadiendo cuatro tetraedros a un octaedro podemos obtener un tetraedro. Calculamos el volumen de un tetraedro a partir del volumen de un octaedro y usando semejanza.
Podemos calcular ahora el volumen de un tetraedro.
Empezamos considerando un tetraedro de arista 2:
Podemos escribir la relación (volumen de figuras semejantes):
Un tetraedro de arista 2 está formado por un octaedro y cuatro tetraedros de arista 1:
Por lo tanto, el volumen de un octaedro es cuatro veces el volumen de un tetraedro y podemos recalcular el
volumen de un tetraedro.
REFERENCIAS
Hugo Steinhaus, Instantáneas matemáticas (pags. 187-192),Editorial Salvat (1986)
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.
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