El tetraedro es la más regular de las pirámides y su volumen se puede calcular usando una conocida fórmula:
El volumen de una pirámide es un tercio del área de la base por la altura. Así podemos calcular su
volumen.
Pero vamos a ver una construcción (que ya nos enseñó Kepler) que nos va a facilitar la tarea.
Esta construcción consiste en poner un tetraedro dentro de un cubo.
Uniendo adecuadamente dos diagonales de dos caras opuestas de un cubo obtenemos un tetraedro.
Queremos comprobar que el volumen de un tetraedro es un tercio del volumen del cubo que lo contiene.
Si la arista del tetraedro es 1 entonces la arista w del cubo es:
El volumen del cubo de diagonal 1 lo podemos escribir (en función de su arista)
Podemos calcular ese volumen
El cubo está compuesto por el tetraedro amarillo y dos pares de pirámides verdes.
La base de dos pirámides juntas es la base del cubo.
Entonces el volumen de estas dos pirámides (aplicando la fórmula de un tercio del área de la base por la altura)
es un tercio del volumen del cubo.
Dos tercios del volumen del cubo está ocupado por las pirámides verdes. Entonces al tetraedro amarillo le queda el tercio restante.
Por lo tanto, el volumen de un tetraedro es un tercio del volumen del cubo que lo contiene.
El volumen del tetraedro del arista 1 es:
Entonces, el volumen del tetraedro regular de arista a es:
Esta construcción puede generalizarse para cualquier paralelepípedo y obtenemos "tetraedros" no regulares.
El volumen de estos tetraedros es también un tercio del volumen del paralelepípedo que los contiene.
Podemos construir un tetraedro con origami modular y una cajita cúbica de cartulina para ponerlo dentro:
Este es el modelo de la caja cúbica que se pueden descargar. El rectángulo es el tamaño de papel que necesitamos para el plegado de un
tetraedro que cabe perfectamente en la caja:
Más ejemplos de origami modular en Construcción de poliedros, técnicas sencillas: Origami modular
Un envase tetraédrico como los que fueron usados para horchata o leche y ahora se usan para azucar y otros productos es
sencillo de hacer:
Cuatro bolas en los vértices de un tetraedro:
En Rothenburg ob der Tauber (Alemania):
Tensegrity (tensegridad):
Más ejemplos de tensegridad en Construcción de poliedros, técnicas sencillas: Tensegridad (Tensegrity)
Octaedros en un tetraedro con origami modular:
Cinco tetraedros en un dodecaedro usando diferentes técnicas de construcción de poliedros:
REFERENCIAS
Hugo Steinhaus, Instantáneas matemáticas (pags. 187-192),Editorial Salvat (1986)
Magnus Wenninger - 'Polyhedron Models', Cambridge University Press.
Peter R. Cromwell - 'Polyhedra', Cambridge University Press, 1999.
H.Martin Cundy and A.P. Rollet, 'Mathematical Models', Oxford University Press, Second Edition, 1961.
W.W. Rouse Ball and H.S.M. Coxeter - 'Matematical Recreations & Essays', The MacMillan Company, 1947.
MÁS ENLACES
Podemos inscribir un tetraedro en un cubo. A partir de esta construcción calculamos el volumen de un tetraedro.
Añadiendo cuatro tetraedros a un octaedro podemos obtener un tetraedro. Calculamos el volumen de un tetraedro a partir del volumen de un octaedro y usando semejanza.
Podemos cortar un cubo por la mitad con un plano de modo que la sección sea un hexágono regular. Ocho de estos medios cubos forman un octaedro truncado.
Demostración dinámica e interactiva del teorema de Pitágoras, inspirada en la de Euclides.
El primer dibujo del desarrollo plano del tetraedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
Con medios cubos podemos formar el octaedro truncado. El cubo tesela el espacio y también el octaedro truncado. También calculamos su volumen.
El octaedro truncado es un poliedro que tiene la propiedad de teselar el espacio: con poliedros congruentes podemos rellenar el espacio sin dejar huecos.
El octaedro truncado es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un octaedro truncando sus vértices. Su volumen se puede calcular a partir del volumen del octaedro.
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices.
El cuboctaedro es un sólido arquimediano que se puede obtener a partir de un cubo truncando sus vértices. También se obtiene a partir de un octaedro truncando sus vértices
El octaedro estrellado fue dibujado por Leonardo para el libro 'La divina proporción' de Luca Pacioli. Años más tarde, Kepler nombró este poliedro stella octangula.
Podemos dibujar los desarrollos planos en cartulina y construir poliedros uniendo solapas con pegamento.
Si recortamos las caras sueltas de los poliedros podemos unirlas con gomas elásticas o pegamento y construir poliedros más complicados y con varios colores.
Si recortamos las caras sueltas de los poliedros podemos unirlas con pegamento y construir poliedros. Puedes descargar varias plantillas con diferentes polígonos. Es una técnica muy sencilla para construir poliedros muy vistosos e interesantes.
Tubos de plástico o aluminio unidos son muy útiles para construir esqueletos de poliedros.
El origami modular es una técnica preciosa que consiste en plegar varias unidades independientes que se unen sin pegamento para formar poliedros.
Tensegrity es la construcción de estructuras con tensores o elementos elásticos. Es un placer construir y tocar estos poliedros elásticos.
Zome es un conjunto de piezas de plástico ideal para construir poliedros desmontables. De las infinitas posibilidades de Zome, aquí lo usamos para calcular el volumen del dodecaedro.
Construcción de cinco tetraedros en un dodecaedro con diferentes técnicas: cartulina, origami, tubos, tensegrity. Justificación de esta preciosa construcción.
Exposición sobre los cinco sólidos platónicos: tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro y dodecaedro. Construcción de los poliedros encajados. El Omnipoliedro. Algunas propiedades básicas que se pueden aprender de esta construcción.
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro truncado.
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su cuboctaedro.
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro estrellado (que Kepler llamó stella octangula).
En su artículo 'Two Surprising Theorems on Cavallieri Congruence' (Dos teoremas sorprendentes sobre la congruencia de Cavalieri), Howard Eves describe un tetraedro muy interesante. En esta página calculamos las áreas de sus secciones y su volumen.
Calculamos el área de las secciones de una esfera usando el Teorema de Pitágoras. También estudiamos la relación con la media geométrica o el teorema de la altura de triángulos rectángulos.
El tetraedro de Howard Eves es congruente Cavalieri con una esfera dada. Podemos ver que las secciones correspondientes tienen áreas iguales. Por lo tanto, el volumen de la esfera es el mismo que el volumen del tetraedro. Sabemos calcular el volumen del tetraedro luego ya sabemos el volumen de la esfera (usando una congruencia sorprendente).
Haciendo adecuadamente secciones en un tetraedro obtenemos rectángulos y, en algún caso, un cuadrado. Podemos calcular el área de esas secciones.
Kepler usó una aproximación infinitesimal intuitiva para calcular el área de un círculo.
Estudiamos los prismas y vemos cómo se pueden desarrollar en un plano. Se explica el cálculo del área lateral de un prisma recto.
Los cilindros son superficies de revolución que pueden desarrollarse en un plano. Se explica cómo calcular la superficie lateral y total de un cilindro.
Desarrollos planos de pirámides y de troncos de pirámide de base regular con diferentes números de lados.
Desarrollos planos de conos y troncos de cono. Cálculo del área lateral de estas figuras.
El primer dibujo del desarrollo plano del dodecaedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
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