Rhombicuboctaedro aumentado (adaptado de Leonardo)
Este vídeo se basa en una aplicación interactiva. Es una adaptación del dibujo que hizo Leonardo da Vinci del rombicuboctaedro
aumentado
(Vigintisex basium elevatus) para el libro de Luca Pacioli 'De Divina Proportione' (La divina proporción).
Si añadimos pirámides a las caras de un poliedro decimos que es un poliedro 'aumentado'. En este caso se añaden pirámides a todas las caras con todas las aristas iguales,
es decir, tetraedros y medios octaedros. Luca Pacioli llama a estos poliedros 'elevatus'.
Ya hemos estudiado esta técnica aplicada al cubo y hemos visto que el rombidodecaedro puede verse como un cubo aumentado.
Añadiendo seis pirámides a un cubo podemos construir nuevos poliedros que tienen veinticuatro caras triángulares. Para unas determinadas pirámides obtenemos un dodecaedro rómbico que tiene doce caras rómbicas.
En esta página vamos a estudiar el rombicuboctaedro aumentado.
El rombicuboctadro también fue descrito por Luca Pacioli y dibujado por Leonardo:
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su rombicuboctaedro.
Así describe Pacioli este poliedro 'elevatus' o aumentado (tradución española):
"El cuerpo de veintiséis bases sólido o hueco elevado recibe en su formación ciento cuarenta y cuatro líneas que, unidas entre sí,
según las oportunas exigencias, originan en él doscientos ochenta y ocho ángulos superficiales y veintiséis sólidos elevados
piramidales, dieciocho de los cuales son deterinados por cuatro ángulos agudos superficiales y ocho por tres agudos. Está
compuesto dicho cuerpo por veintiséis pirámides lateradas, dieciocho de las cuales son cuadrangulares y ocho triangulares,
que se pueden discernir por la vista en el exterior, y por el mencionado cuerpo de veintiséis bases sólido plano, interior,
que solamente puede ser captado por la imaginación. Sus veintiséis bases son igualmente bases de las antes mencionadas
veintiséis pirámides, es decir, las dieciocho cuadrangulares de las dieciocho pirámides cuadrangulares y las ocho triangulares
de las ocho pirámides cuadrangulares."
('La divina proporción' de Luca Pacioli, página 98, traducción de Juan Calatrava, Editorial Akal, 4ª edición, 2008)
Dibujo de Leonardo da Vinci del rombicuboctaedro aumentado
(Vigintisex basium elevatus solidus) para el libro de Luca Pacioli 'De divina proportione'. (Hay una versión española, 'La divina proporción' Editorial Akal. Imagen usada con permiso de la Editorial Akal).
Dibujo de Leonardo da Vinci del rombicuboctaedro aumentado
(Vigintisex basium elevatus vacuus) para el libro de Luca Pacioli 'De divina proportione'. (Hay una versión española, 'La divina proporción' Editorial Akal. Imagen usada con permiso de la Editorial Akal).
Interactuando con la aplicación podemos rotar la figura y modificar el hueco de las caras:
He desarrollado una segunda versión de esta aplicación interactiva en la que se puede ver el interior de este poliedro pues se pueden separar las pirámides.
En esta segunda versión del rombicuboctaedro aumentado podemos separar las pirámides y ver el interior de la figura. Luca Pacioli escribió que 'podemos ver el interior solo con nuestra imaginación'. La aplicación interactiva solo nos ayuda a ello.
Esta figura es complicada de dibujar. Vamos a comparar el dibujo de Leonardo da Vinci con la imagen generada con la aplicación.
Leonardo da Vinci fue un genio y sus dibujos para el libro de Pacioli son preciosos. Estos detalles son solo una anécdota que nos llevan a estudiar y disfrutar de
este bonito poliedro.
Si nos fijamos en las dos pirámides que apuntan directamente hacia la derecha y la izquierda notamos algo extraño. Tendría que ser pirámides de base
cudadrada pero no está claro si son de base cuadrada o triangular. Quizás esta diferencia dependa del punto de vista.
Los vértices de dos pirámides triangulares de abajo a la derecha e izquierda no están dibujadas.
La principal diferencia es que la pirámide de abajo tendría que ser de base triangular pero es cuadrangular en el dibujo de Leonardo.
Otro pequeño detalle es que las pirámides que están al lado de esta tendrían que ser de base cuadrada y simétricas.
Haylebrouck comenta que Leonardo da Vinci fue el primero que dibujó el rombicuboctaedro para ser impreso y que le tuvo que añadir las pirámides y dibujar
el poliedro aumentado o 'elevatus' con forma de estrella. No sabemos si tuvo un modelo a su disposición.
Sin embargo, una opinión diferente fue publicada por
Carlo H. Sequin.
El autor piensa que no se trata de un error. Lo que Leonardo estaría dibujando es un pseudo rombicuboctaedro aumentado y no un rombicuboctaedro aumentado.
Para repasar el pseudo rombicuboctaedro podemos seguir el siguiente enlace:
También llamado girobicúpula cuadrada elongada. Es muy parecido al rombicuboctaedro pero es menos simétrico.
En este supuesto, el principal problema que es la pirámide de abajo estaría bien dibujada pues sería una pirámide de base cuadrada como la dibujó Leonardo y,
por lo tanto, no habría error.
Vamos a comparar el dibujo de Leonardo y el del pseudo rombicuboctaedro aumentado para comprobar la hipótesis de Carlo Sequin.
Tengamos en cuenta que hay una objeción a este punto de vista: si leemos el libro de Pacioli vemos que escribe sobre varios poliedros (que se
corresponden con los dibujos de Leonardo) en el mismo orden ('planus solidus', 'planus vacuus' 'elevatus solidus' and
'elevatus vacuus'). Después de la descripción del rombicuboctaedro ('planus solidus and vacuus') viene la del rombicuboctaedro aumentado
('evelatus solidus and vacuus') y esos son los dibujos que esperamos de Leonardo.
La siguiente aplicación es una adaptación del dibujo de Leonardo pero en el supuesto de que usa el pseudo rombicuboctaedro como
poliedro base de la aumentación.
Si usamos el pseudo rombicuboctaedro el problema principal, el de la pirámide de abajo, está resuelto.
Persisten los otros detalles, como que el dibujo no es simétrico. Además el dibujo no responde a lo que esperamos como ilustración del rombicuboctaedro aumentado
para el libro de Luca Pacioli.
En esta página tenemos las dos aplicaciones interactivas que podemos manipular y formarnos nuestra propia opinión.
Las siguientes imágenes son modelos realizados con cartulina del rombicuboctaedro y del pseudo rombicuboctaedro con las pirámides para ver los modelos aumentados.
En esta segunda versión del rombicuboctaedro aumentado podemos separar las pirámides y ver el interior de la figura. Luca Pacioli escribió que 'podemos ver el interior solo con nuestra imaginación'. La aplicación interactiva solo nos ayuda a ello.
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su rombicuboctaedro.
Añadiendo seis pirámides a un cubo podemos construir nuevos poliedros que tienen veinticuatro caras triángulares. Para unas determinadas pirámides obtenemos un dodecaedro rómbico que tiene doce caras rómbicas.
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro truncado.
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su octaedro estrellado (que Kepler llamó stella octangula).
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación de su tetraedro truncado.
Leonardo da Vinci realizó varios dibujos de poliedros para La Divina Proporción de Luca Pacioli. Aquí podemos ver una adaptación del poliedro de 72 caras (Septuaginta) también conocido como esfera de Campanus de Novara.
Añadiendo seis pirámides a un cubo podemos construir nuevos poliedros que tienen veinticuatro caras triángulares. Para unas determinadas pirámides obtenemos un dodecaedro rómbico que tiene doce caras rómbicas.
El primer dibujo del desarrollo plano del octaedro regular fue publicado por Durero en su libro 'Underweysung der Messung' ('Los cuatro libros de la medida'), el año 1525.
Si recortamos las caras sueltas de los poliedros podemos unirlas con pegamento y construir poliedros. Puedes descargar varias plantillas con diferentes polígonos. Es una técnica muy sencilla para construir poliedros muy vistosos e interesantes.
Si recortamos las caras sueltas de los poliedros podemos unirlas con gomas elásticas o pegamento y construir poliedros más complicados y con varios colores.
Material para la sesión sobre poliedros (Zaragoza el 7 de Noviembre de 2014). Estudiaremos el volumen del octaedro y del tetraedro y veremos que el octaedro truncado nos puede ayudar en esta tarea. Construimos una cubo de cartulina con un tetraedro de origami modular en su interior.
Material para la sesión del TTM (Zaragoza el 23 de Octubre de 2015) . Estudiamos la dualidad de poliedros y, en particular, los poliedros platónicos duales. Construimos una cubo de cartulina con un octaedro de origami modular.
Material para la sesión sobre construcción de poliedros que se realizó en Zaragoza el 13 de Abril de 2012. El objetivo es disfrutar haciendo poliedros y obtener alguna conclusión matemática a partir de esas construcciones.
Material para la sesión sobre construcción de poliedros (Zaragoza el 9 de Mayo de 2014). Empezaremos con el tetraedro, el cubo y el octaedro y presentaremos el cuboctaedro y el dodecaedro rómbico. Relacionaremos este poliedro con los panales de abeja. Construimos una cajita que es un dodecaedro rómbico.
El poliedro compuesto por un cubo y un octaedro es un cuboctaedro estrellado. O lo que es lo mismo, el cuboctaedro es el sólido común al cubo y al octaedro en este poliedro.
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