En esta página vamos a estudiar una familia de funciones que se llaman funciones exponenciales. Reciben este nombre pues en sus fórmulas aparece la variable independiente x en el exponente.

En la aplicación interactiva dos puntos (rojos) determinan una función exponencial. Uno de estos puntos se mueve solo sobre el eje de ordenadas, el eje vertical Y. Marca el punto en el que la gráfica de la función corta al eje vertical. Este valor es importante, en particular por lo sencillo que resulta calcularlo. El otro punto rojo se mueve libremente. La única condición es que ambos puntos no pueden tener la misma coordenada x, es decir, no pueden estar en una recta vertical.

Si movemos ambos puntos la función exponencial tiene la forma general

El valor del factor a está determinado por la posición del punto rojo sobre el eje de ordenadas. En un primer momento no vamos a modificar ese valor pues queremos que valga 1.

Entonces la fórmula resulta

Decimos que b es la BASE de la función exponencial. Notamos que se exige que sea mayor que 0.

Las funciones exponenciales están directamente relacionadas con las progresiones geométricas. Podemos decir que las progresiones geométricas de razón positiva son funciones exponenciales pero con su dominio restringido a los Números Naturales.

Sucesiones o progresiones geométricas

Representación gráfica de progresiones geométricas. Suma de los términos de una sucesión geométrica. Series geométricas.

Las funciones exponenciales son importantes por muchos motivos. Estan relacionadas con un crecimiento (o decremiento) exponencial. En estas situaciones la variable independiente x se suele considerar el tiempo. Entonces hablamos de crecimiento (o decrececimiento) exponencial cuando la función varía en el tiempo proporcionalmente a su valor.

Hay muchas situaciones, en contextos muy distintos, en los que encontramos fenómenos que crecen exponencialmente. Por ejemplo, el crecimiento de una colonia de bacterias, la historia del inventor del tablero de ajedrez, doblando una hoja de papel repetidas veces, la difusión de los rumores y de los mensajes de correo del tipo 'envía este mensaje a 10 personas para ....', las estafas piramidales, reacciones nucleares en cadena, la desintegración radioactiva, el interés compuesto, cuando se habla de crecimiento económico continuo del tanto por ciento, los crecimientos orgánicos en general, etc...

Algunos de estos crecimientos son discretos y, por lo tanto, se pueden modelar con progresiones geométricas. Cuando son continuos es cuando usamos las funciones exponenciales. Estas también se usan para aproximar situaciones discretas.

El crecimiento exponencial no puede ser indefinido pues, como veremos, al cabo del tiempo se hace muy rápido. Por ejemplo, una población no puede crecer exponencialmente siempre pues le faltaría espacio y recursos para sobrevivir.

No es raro que se presenten las funciones exponenciales de un modo que podemos calificar como de inocente. Partimos de una progresión geométrica y lo que queremos es extender esa progresión a una función que tenga como dominio todos los Números Reales.

La tarea no parece difícil. Sin embargo tiene sus dificultades y por eso cuando queremos hacer una presentación elemental de las funciones exponenciales no hay más remedio que soslayar estas dificultades.

Vamos a exponerlas brevemente con un ejemplo sencillo:

Podemos pensar que es fácil entender el significado de una función como 2^x

(o 3^x o 10^x) porque podemos calcular

Pero ¿cuál es el significado de la siguiente potencia?

Vamos a ver algunas propiedades de las funciones exponenciales.

Esperamos que esta función cumpla la ecuación fundamental

También

Cuando el factor a es 1 todas las funciones exponenciales pasan por el punto (0,1).

Algunas de estas funciones son crecientes (cuando b > 1)

Algunas son decrecientes (cuando b < 1)

Las funciones exponenciales se caracterizan porque todas tienen una forma parecida pero que se diferencian por la base.

De entre estas funciones hay una que destaca por sus propiedades. Es la que tiene como base un número especial (que al principio nos puede parecer un poco extraño) que llamamos número e (esta notación se debe a Euler).

El número e se puede definir de varias maneras. Nosotros nos vamos a fijar, para empezar, en la pendiente de la tangente a diferentes funciones exponenciales en x=0.

Si miramos la tangente a este tipo de funciones en x=0 podemos ver que hay una base para la que la pendiente de la tangente de la función en x=0 es 1. Llamaremos a ese número e.

Siguiendo a Serge Lang: "La existencia de un número e que tiene la propiedad comentada arriba puede motivarse de la siguiente manera. Sean a, b números > 1 y supongamos que a < b. Entonces, para todos los números x se cumple

Si b es muy grande, entonces la curva y=b^x tendrá una pendiente muy grande en x=0, mientras que si b es solo un poco mayor que 1 la pendiente será muy pequeña.

Es razonable pensar que conforme la base crece desde números cercanos a 1 (y mayores que 1) a números muy grandes, la pendiente de b^x en x=0 crece continuamente desde valores cercanos a 0 a valores muy grandes y, entonces, para algún valor de b, que llamamos e, esta pendiente será precisamente 1. Desde este punto de vista intuitivo, e es el número tal que la pendiente de e^x en x=0 es igual a 1." (Serge Lang)

Más adelante veremos cómo se puede calcular aproximadamente e. Su valor es

Realmente para dibujar las rectas tangentes usamos una herramienta fundamental que es la derivada. Vamos a avanzar en esa dirección planteándonos primero un límite pues la derivada de una función en un punto se puede definir como la pendiente de la tangente a la gráfica en ese punto y la pendiente de la tangente es el límite de las pendientes de rectas rectantes pasando por ese punto. Lo que estamos haciendo aquí es tratar un caso particular de esa definición.

Usando límites, la pendiente de la tangente en x=0 es (si el límite existe)

Notamos que este límite, si existe, solo depende de b.

Lo que decimos es que existe un número e tal que

Si pensamos un poco más en la definición de derivada de una función para una función exponencial, si el límite existe y usamos la propiedad de las exponenciales, podemos escribir

Es decir, la derivada de una función exponencial es un múltiplo de la función (aunque todavía no conocemos el valor de ese factor). En particular, la derivada de una función exponencial es otra función exponencial.

Para un caso particular, la derivada de una función exponencial coincide con la misma función. Esto ocurre cuando b = e pues encontes el límite que hemos estudiado vale 1. Esta es la función exponencial por excelencia pues cumple esta propiedad tan importante:

Hasta ahora no hemos movido el punto rojo que se desplaza por el eje de ordenadas. Si modificamos ese punto estamos cambiando el valor de f(0), es decir, el punto por el que la gráfica de la función corta al eje vertical.

La función exponencial que estamos considerando ahora es un poco más general:

En realidad se trata de múltiplos de funciones exponenciales. Ese múltiplo podría ser positivo o negativo aunque en la aplicación solo se permiten valores positivos.

En esta página hemos practicado con funciones exponenciales pero seguimos teniendo el problema con la definición de este tipo de funciones. No conocemos todavía el significado de

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