La integral de las funciones potencia era conocida por Cavalieri para n=1 hasta n=9. Fermat, entre otros, fue capaz de resolver este problema. Su técnica es un buen ejemplo del uso de progresiones geométricas.
En lo que sigue, a y b son dos números positivos. Estos dos números determinan un trapecio curvilíneo, un área.
Si multiplicados a y b por el mismo número positivo, entonces el nuevo trapecio curvilíneo que se obtiene
tiene la misma área que el original:
En el applet podemos ver esta propiedad. Podemos modificar los límites de integración y pulsando el botón 'play' podemos
ver cómo el área se tranforma de un modo continuo.
C.H.Edwards Jr. escribió: "Las tablas de Napier y Briggs y sus seguidores revolucionaron el arte de los cálculos numéricos. Sin embargo,
la importancia de los logaritmos en el desarrollo histórico del cálculo se deriva a partir de un descubrimiento publicado en 1647 por
el jesuita belga Gregory St. Vincent que implica una sorprendente conexión entre el logaritmo natural y la hipérbola equilátera xy=1."
(pag. 154)
En el siguiente applet podemos ver una "demostración" visual de esta propiedad.
Si consideramos sólo un rectángulo:
Si usamos más y más rectángulos podemos intuir que las dos áreas son iguales.
[Serge Lang, p.181] Sea h un número positivo. Comparar el área bajo la curva 1/x entre 1 y 1+h para ver que
Ahora podemos resolver el siguiente límite:
Usando ahora un argumento muy parecido:
Dividimos los dos miembros de nuestras desigualdades por un número positivo h y las desigualdades se preservan y obtenemos
Conforme h se acerca a 0 el cociente de Newton se comprime y se acerca a 1/x.
Esta es la base de un argumento para probar
Aunque en matematicasVisuales vamos a ver más aproximaciones intuitivas y visuales a las propiedades de la función logaritmo pienso que
el comentario que hace Serge Lang en este punto es muy interesante:
"A partir de ahora, no necesitamos más nuestra intuición geométrica. La noción de área la hemos usado para justificar la existencia
de una función cuya derivada es 1/x y cuyo valor en el 1 es 0. Todos los argumentos que siguen dependen del hecho de que tenemos
tal función."(Serge Lang, p. 177)
REFERENCIAS
A. I. Markushevich, Areas and Logarithms, D.C. Heath and Company, 1963.
Serge Lang, A First Course in Calculus, Third Edition, Addison-Wesley Publishing Company.
Tom M. Apostol, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.
Michael Spivak, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.
Otto Toeplitz, The Calculus, a genetic approach, The University of Chicago Press, 1963.
Kenneth A. Ross, Elementary Analysis: The Theory of Calculus, Springer-Verlag New York Inc., 1980.
C.H. Edwards, Jr., The Historical Development of the Calculus, Springer-Verlag New York Inc., 1979.
Usando los logaritmos podemos multiplicar dos números haciendo una suma: el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
El número e, la base de los logaritmos naturales, se puede definir como una integral o como el límite de una sucesión relacionada con el interés compuesto. Ambas definiciones coinciden.
El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo nos proporciona una herramienta muy potente para calcular integrales definidas (si conocemos una primitiva o antiderivada de la función).
Como una introducción a las funciones lineales a trozos estudiamos el caso más sencillo, las funciones lineales restringidas a un intervalo abierto: sus gráficas son segmentos.
La integral de las funciones potencia era conocida por Cavalieri para n=1 hasta n=9. Fermat, entre otros, fue capaz de resolver este problema. Su técnica es un buen ejemplo del uso de progresiones geométricas.
Las funciones monótonas definidas en intervalos cerrados son interables. En estos casos podemos acotar el error que cometemos al aproximar la integral usando rectángulos.
Si consideramos el límite inferior de integración fijado y podemos calcular la integral definida para diferentes valores del límite superior de integración entonces podemos definir una nueva función: una integral indefinida de f.
Se trata de encontrar el polinomio de menor grado que pasa por una serie de puntos del plano. Es un problema de interpolación que aquí resolvemos usando los polinomios de Lagrange.
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